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Quante sono le funzioni da {0, 1, 2, ..., 9} a {0, 1, 2, ..., 9} che assumono almeno un valore maggiore di 5?
Quante sono quelle che assumono esattamente un valore maggiore di 5?
Quante sono quelle che assumono esattamente tre valori pari e due valori dispari?

Qualcuno può aiutarmi? Credo di aver risolto le prime due (anche se mi piacerebbe capire se le mie soluzioni sono corrette), ma non riesco a calcolare l'ultima.

Se ho capito esattamente cosa intendi con "esattamente" nei punti due e tre provo a risponderti

Lemma. Il numero di funzioni f:A->B è n=#B^#A (#=cardinalità di un insieme, ossia il numero dei suoi elementi)
Per comodità chiamo A l'insieme {0..9}.
1. Togliamo dal numero totale di funzioni f:A -> A il numero di quelle funzioni f:A->{0..5}.
n=10^10-6^10
2. Sia x l'unico elemento -1<x<10 tale che f(x)>5. Allora ho 10 possibili scelte per x e e 4 per f(x). Queste vanno moltiplicate per il numero di funzioni f:=A/{x} -> {0..5}.
n=40*6^9
3. le possibili cinquine di tre numeri pari e due dispari scelti in A sono (5 su 3)*(5 su 2)=100. Per ognuna di queste 100 cinquine dobbiamo contare il numero di funzioni da A a una cinquina.
n=100*5^10=4*5^12
spero di non aver detto cavolate e di essere stato chiaro =)

Ricontrolla il punto 3

hairraggione (tanto per cambiare.. )
nel punto 3 una volta trovate le 100 cinquine visto che mi era stato chiesto "esattamente" tre valori pari e due dispari non devo contare le semplici funzioni da A alla cinquina ma le funzioni suriettive da A alla cinquina.
Ma il numero di funzioni suriettive è una roba complicata quindi cambio strada...
Il ragionamento migliore che mi viene in mente ora è scegliere arbitrariamente un sottinsieme B di A tale che #B=5. Chiamo inoltre C la cinquina arbitrariamente scelta tra le 100 che ci vanno bene. Allora tutte le funzioni suriettive f:A->C
sono pensabili come l'unione delle funzioni g e h tali che:
g:B->C;
h:A\B->C;
g è biiettiva.
allora sapendo che il numero di biiezioni tra due insiemi di j elementi è j! e che i possibili modi di scegliere B sono (10 su 5) possiamo calcolare:
n=100*(5!*5^5)(10 su 5)=1000*9*8*7*6*5^5

I doppioni ce li scambiamo?

Appurato che ho detto un'altra cavolata contiamo le suriettive
Lemma: le funzioni f:A->B suriettive sono:
$ \displaystyle n=\sum_{i=0}^{|B|-1}(-1)^i\binom{|B|}{i}(|B|-i)^|^A^| $
Nel nostro caso |B|=5 e |A|=10 quindi
$ n=5^1^0-5* 4^1^0+10* 3^1^0-10 *2^1^0+5 $