Molte radici sono irrazionali
Molte radici sono irrazionali
Si dimostri che se $ a, n \in \mathbb {N} $ e $ a^{\frac{1}{n}} \notin \mathbb{N} $ allora $ a^{\frac{1}{n}} \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} $
Ultima modifica di Fedecart il 16 dic 2009, 02:46, modificato 1 volta in totale.
Controesempio:
$ a=\displaystyle\frac{9}{4} , n = \frac{2}{3} $, che dà $ a^{\frac{1}{n}} = \displaystyle\frac{27}{8} $.
In generale, prendendo $ s $ e $ t $ primi fra loro, ponendo $ a = \displaystyle\frac{s^c}{t^c} $ con $ c $ qualunque, e prendendo $ n=\displaystyle\frac{d_c}{k} $, dove $ d_c $ è un qualsiasi divisore di $ c $ e $ k $ un numero intero qualunque, sarà $ a^{\frac{1}{n}} = (\displaystyle\frac{s^c}{t^c})^{\frac{k}{d_c}} = (\displaystyle\frac{s^{c/d_c}}{t^{c/d_c}})^k $, che essendo $ s $ e $ t $ primi tra loro, sarà razionale e non intero, contro la tesi.
$ a=\displaystyle\frac{9}{4} , n = \frac{2}{3} $, che dà $ a^{\frac{1}{n}} = \displaystyle\frac{27}{8} $.
In generale, prendendo $ s $ e $ t $ primi fra loro, ponendo $ a = \displaystyle\frac{s^c}{t^c} $ con $ c $ qualunque, e prendendo $ n=\displaystyle\frac{d_c}{k} $, dove $ d_c $ è un qualsiasi divisore di $ c $ e $ k $ un numero intero qualunque, sarà $ a^{\frac{1}{n}} = (\displaystyle\frac{s^c}{t^c})^{\frac{k}{d_c}} = (\displaystyle\frac{s^{c/d_c}}{t^{c/d_c}})^k $, che essendo $ s $ e $ t $ primi tra loro, sarà razionale e non intero, contro la tesi.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
