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Si dimostri che se $ a, n \in \mathbb {N} $ e $ a^{\frac{1}{n}} \notin \mathbb{N} $ allora $ a^{\frac{1}{n}} \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} $

Controesempio:
$ a=\displaystyle\frac{9}{4} , n = \frac{2}{3} $, che dà $ a^{\frac{1}{n}} = \displaystyle\frac{27}{8} $.

In generale, prendendo $ s $ e $ t $ primi fra loro, ponendo $ a = \displaystyle\frac{s^c}{t^c} $ con $ c $ qualunque, e prendendo $ n=\displaystyle\frac{d_c}{k} $, dove $ d_c $ è un qualsiasi divisore di $ c $ e $ k $ un numero intero qualunque, sarà $ a^{\frac{1}{n}} = (\displaystyle\frac{s^c}{t^c})^{\frac{k}{d_c}} = (\displaystyle\frac{s^{c/d_c}}{t^{c/d_c}})^k $, che essendo $ s $ e $ t $ primi tra loro, sarà razionale e non intero, contro la tesi.

Editato il testo. Avevo fatto un errore scemo col LaTex... Ora dovrebbe esser giusto

Ora è giusto, ma come gia detto da Gauss91, se $ a=\left(\frac{b}{c}\right)^n $ con $ \text{gcd}(b,c)=1 $ e $ c>1 $ allora $ c^n \mid ac^n=b^n $, assurdo.