OliForum Matematico

Un problemino che mi ha proposto una mia collega e che né io né lei siamo riusciti ancora a dimostrare... anche se abbiamo fatto un grosso passo verso la sua dimostrazione (che magari più avanti aggiungo):

Teorema:
Date due parabole con assi tra loro perpendicolari che si intersecano in 4 punti distinti, allora per i 4 punti passa una ed una sola circonferenza.

Che se ne passa una allora passa solo quella mi sembra un fatto piuttosto ovvio.
Per dimostrare che per quei quattro punti passa una circonferenza credo si possa fare senza troppi problemi usando la geometria analitica e svolgendo un po' di calcoli. Ovviamente non aspettatevi che io lo faccia

C'è un modo sufficientemente rapido per risolvere la cosa.
Scegliendo il piano cartesiano con gli assi paralleli agli assi
delle parabole,le equazioni di queste ultime saranno del tipo:
$ \displaystyle y=ax^2+bx+c, x=my^2+ny+p $
Il fascio di coniche che esse determinano sarà:
$ \displaystyle \lambda (ax^2+bx+c-y)+\mu (my^2+ny+p-x)=0 $
L'unica circonferenza che fa parte di detto fascio si ottiene scegliendo i
parametri in modo che sia :
$ \displaystyle \lambda a =\mu m $
Naturalmente la circonferenza che così si ottiene ,in quanto facente
parte del fascio,passa per i 4 punti base del fascio stesso, che sono poi i punti di intersezione delle due parabole
( dato e concesso che esistano veramente !!!).

Volendo dimostrarlo per via analitica, dato che per tre punti passa sempre una circonferenza, bisognerebbe dimostrare che anche il quarto punto è equidistante dai due assi degli altri tre punti.