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un punto interno ad un triangolo equilatero dista 5,7,8 dai tre lati.quanto vale il lato del triangolo?

ho letto la soluz proposta.dice di considerare la somma di tre aree di tre triangolo di base l e di altezza 5,7,8.ma facendo la figura mi chiedo come sia possibile che questi tre triangoli abbiano altezza 5,7,8 e base l.Se ad esempio chiamo H il punto intero quali triangoli devo considerare

ho visto la soluzione ufficiale: è terribile.
Molto più facile questa secondo me: traccia le parallele ai tre lati passanti per il punto H e troverai alcuni parallelogrammi: sai l'altezza e gli angoli di ciascuno, è facilissimo calcolarne i lati.

danielf ha scritto:un punto interno ad un triangolo equilatero dista 5,7,8 dai tre lati.quanto vale il lato del triangolo?

ho letto la soluz proposta.dice di considerare la somma di tre aree di tre triangolo di base l e di altezza 5,7,8.ma facendo la figura mi chiedo come sia possibile che questi tre triangoli abbiano altezza 5,7,8 e base l.Se ad esempio chiamo H il punto intero quali triangoli devo considerare

Ho provato a farlo, non ho la certezza che sia giusto ma ci provo

I tre triangoli che devi considerare sono quelli ottenuto congiungendo il punto interno H con i vertici del triangolo equilatero, ottieni cosi tre triangoli di base l e altezze 5,7,8... ma se hanno tutti e tre base l e la somma delle loro aree è l'area del triangolo equilatero, quindi l'altezza del triangolo equilatero è pari al lato l per l'altezza che è data dalla somma delle 3 altezze dei triangolini... Da li a ricavarti il valore del lato ci si mette poco, o no?


Così ad occhio dovrebbe venire [40*(3^-1)]/3
Un attimo che provo a scriverlo in latex

cellulacameratatumorale ha scritto:

danielf ha scritto:un punto interno ad un triangolo equilatero dista 5,7,8 dai tre lati.quanto vale il lato del triangolo?

ho letto la soluz proposta.dice di considerare la somma di tre aree di tre triangolo di base l e di altezza 5,7,8.ma facendo la figura mi chiedo come sia possibile che questi tre triangoli abbiano altezza 5,7,8 e base l.Se ad esempio chiamo H il punto intero quali triangoli devo considerare

Ho provato a farlo, non ho la certezza che sia giusto ma ci provo

I tre triangoli che devi considerare sono quelli ottenuto congiungendo il punto interno H con i vertici del triangolo equilatero, ottieni cosi tre triangoli di base l e altezze 5,7,8... ma se hanno tutti e tre base l e la somma delle loro aree è l'area del triangolo equilatero, quindi l'altezza del triangolo equilatero è pari al lato l per l'altezza che è data dalla somma delle 3 altezze dei triangolini... Da li a ricavarti il valore del lato ci si mette poco, o no?


Così ad occhio dovrebbe venire [40*(3^-1)]/3
Un attimo che provo a scriverlo in latex

ma scusa ottengo,tre triangoli di base l,ma non di altezza 5,7,8,dalla figura 5,7,8 dovrebbero corrispondere alla misura di un lato

Non ho GeoGebra, ma cerca di starmi dietro.
Sia il triangolo equilatero del problema ABC, e sia H il punto. Si traccino le tre parallele ai tre lati del triangolo passanti per H. Queste parallele divideranno il triangolo in tre triangoli equilateri (è facile dimostrarlo) e tre parallelogrammi. Le distanze del punto H dai tre lati del triangolo, che sarebbero anche le altezze dei triangolini dentro. Si nota che il lato del triangolo ABC è la somma dei lati dei triangolini dentro, lati che puoi facilmente calcolare: se $ d $ è la distanza di H da un lato, il lato del triangolino con altezza $ d $ è $ \displaystyle\frac{2d}{\sqrt 3} $. Quindi il lato di ABC è
$ \displaystyle\frac{10}{\sqrt 3} + \displaystyle\frac{14}{\sqrt 3} + \displaystyle\frac{16}{\sqrt 3} = \displaystyle\frac{40}{\sqrt 3} $.
E' giusto? Spero di essere stato chiaro se lo è!

Allora, non fa male dire che il problema è preso da Febbraio 2003, così magari chi si sta chiedendo a che accidenti di figura si sta riferendo danielf può smettere di arrovellarsi:
http://olimpiadi.dm.unibo.it/downloader.php?id=52

La soluzione di Gauss91 è giusta, ed il fatto che sia più o meno "terribile" di quella ufficiale è soggettivo. Io per esempio preferisco (di poco) quella ufficiale.

danielf: non ho ancora capito cosa stai cercando di dire, ma a scanso di equivoci ti faccio presente che la figura delle soluzioni ufficiali non è in scala.
Se il triangolo dato è ABC e il punto interno è H, i 3 triangoli di altezze 5, 7, 8 e base l sono ABH, BCH e CAH. E' più chiaro adesso?