OliForum Matematico

sia $ P(x)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+....+a_{0} $ un polinomio a coeff interi.se P(2000)=2000 e P(2001)=2001,quanti fra i numeri:2000,2001,2002,2003,2004 possono essere uguale a P(2002)?

potrei escludere i risultati dispari,ma come posso dimostrare che i restanti vanno bene?

danielf ha scritto:...ma come posso dimostrare che i restanti vanno bene?

Basta che trovi un esempio per ogni uno

si ma come faccio a costrurimi il polinomio tale che mi vengono quei risultati?

Sai che
P(x)=(x-2000)*Q(x)+2000 per ruffini. Inoltre $ Q \in Z[x] $.
allora ti basta imporre che
2Q(2002)+2000=2000,2002,2004
rispettivamente ti vanno bene
Q=x-2002
Q=x-2001
Q=x-2000
o infiniti altri che abbiano le giuste radici
(l'altra condizione P(x)=(x-2001)*R(x)+2001 con $ R \in Z[x] $ è una condizione inutile per calcolare i possibili valori di P(2002)=R(x)+2001...)

Giulius ha scritto:Sai che
P(x)=(x-2000)*Q(x)+2000 per ruffini. Inoltre $ Q \in Z[x] $.
allora ti basta imporre che
2Q(2002)+2000=2000,2002,2004
rispettivamente ti vanno bene
Q=x-2002
Q=x-2001
Q=x-2000
o infiniti altri che abbiano le giuste radici
(l'altra condizione P(x)=(x-2001)*R(x)+2001 con $ R \in Z[x] $ è una condizione inutile per calcolare i possibili valori di P(2002)=R(x)+2001...)

premesso che ne so poco e niente di polinomi,ma perchè imponi :
2Q(2002)+2000=2000,2002,2004 e perchè ti vengono quei risultati?

ok, forse questo problema merita una spiegazione un po' più approfondita se è la prima volta che ne vede uno del genere.
Se $ P(2000)=2000 $, allora $ P(x)=(x-2000)Q(x)+2000 $ con Q(x) polinomio a coefficienti interi (questo è il teorema del resto, e non è altro che un'applicazione del famoso teorema di Ruffini).
Sai inoltre che $ P(2001)=2001 $. Sostituisci e trovi:
$ (2001-2000)Q(2001)+2000=P(2001)=2001 $, cioè $ Q(2001)=1 $. Quindi $ Q(x)=(x-2001)R(x)+1 $ con R(x) polinomio sempre a coefficienti interi.
Ora sostituiamo in P(x) e otteniamo:
$ P(x)=(x-2000)[(x-2001)R(x)+1]+2000 $
Fai i calcoli e trovi $ P(x)=(x-2000)(x-2001)R(x)+x $
Quindi $ P(2002)=(2002-2000)(2002-2001)R(2002)+2002=2R(2002)+2002 $.
Questo ti basta per trovare degli esempi, infatti per ottenere 2000,2002,2004 vanno bene rispettivamente $ R(x)=-1 $,$ R(x)=0 $,$ R(x)=1 $.
Ovviamente, come hai notato anche tu, i valori dispari non sono mai raggiunti e quindi hai finito.

@Giulius:cosi è sbagliato, hai dimenticato per strada un'ipotesi

Maioc92 ha scritto:ok, forse questo problema merita una spiegazione un po' più approfondita se è la prima volta che ne vede uno del genere.
Se $ P(2000)=2000 $, allora $ P(x)=(x-2000)Q(x)+2000 $ con Q(x) polinomio a coefficienti interi (questo è il teorema del resto, e non è altro che un'applicazione del famoso teorema di Ruffini).
Sai inoltre che $ P(2001)=2001 $. Sostituisci e trovi:
$ (2001-2000)Q(2001)+2000=P(2001)=2001 $, cioè $ Q(2001)=1 $. Quindi $ Q(x)=(x-2001)R(x)+1 $ con R(x) polinomio sempre a coefficienti interi.
Ora sostituiamo in P(x) e otteniamo:
$ P(x)=(x-2000)[(x-2001)R(x)+1]+2000 $
Fai i calcoli e trovi $ P(x)=(x-2000)(x-2001)R(x)+x $
Quindi $ P(2002)=(2002-2000)(2002-2001)R(2002)+2002=2R(2002)+2002 $.
Questo ti basta per trovare degli esempi, infatti per ottenere 2000,2002,2004 vanno bene rispettivamente $ R(x)=-1 $,$ R(x)=0 $,$ R(x)=1 $.
Ovviamente, come hai notato anche tu, i valori dispari non sono mai raggiunti e quindi hai finito.

@Giulius:cosi è sbagliato, hai dimenticato per strada un'ipotesi

ok tutto chiaro grazie

Allora scusate ma io non comprendo nemmeno il testo iniziale eheh.. per quale motivo si indica $ P(x)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1)+...+a_0 $ ossia si fa indicano X maiuscole nel polinomio ma si indica P di x minuscola???? Secondo: per cosa sta n? Si vuole intendere un polinomio di qualsiasi grado in x? Se è così: perchè si indica x maiuscola?

E' sufficiente limitarci a dire che va bene R(x)=-1,0 e 1?

Mi spiego, non dovrebbe essere necessario che esistono dei P(x) con le caratteristiche dell'ipotesi tali che R(x) possa venire uno di quei 3 valori?
(non è un suggerimento, è una domanda apertissima da ignorante)