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trovare tutte le coppie di primi (p,q) che soddisfino le seguenti relazioni:
p|5^q+1 e q|5^p+1.

posto questo problema perchè io penso di averlo risolto, ma la soluzione che c'è sul libro delle olimpiadi 1995-2001 è diversa e non la capisco e inoltre nn menziona due soluzioni ke io ho trovato...

Correggi il testo ;)
C'è un +1 nella prima divisibilità

p.s. posto solo le mie soluzioni per lasciare a qualcun altro il problema (nel caso nessuno lo facesse domani piazzo la soluzione):
(2,2);(2,13);(13,2);(3,3);(3,7);(7,3)

nn so come fare a modificare il testo iniziale... spero ke gli altri leggano sotto XD comunque anke io ho trovato le stesse coppie di soluzioni, ma nel testo delle olimpiadi nn da le coppie (3,7) e (7,3)...

gibo92 ha scritto:nn so come fare a modificare il testo iniziale...

Di fianco a ogni TUO messaggio c'è l'opzione "Modifica" (in alto a destra di fianco a "Riporta"):se clicchi lì comparirà il contenuto del messaggio che vuoi correggere. Dopo aver fatto la modifica clicca su "Invia" e il messaggio nuovo comparirà al posto di quello vecchio

spugna ha scritto:

gibo92 ha scritto:nn so come fare a modificare il testo iniziale...

Di fianco a ogni TUO messaggio c'è l'opzione "Modifica" (in alto a destra di fianco a "Riporta"):se clicchi lì comparirà il contenuto del messaggio che vuoi correggere. Dopo aver fatto la modifica clicca su "Invia" e il messaggio nuovo comparirà al posto di quello vecchio

hai ragione, quando dovevo modificarlo nn ero loggato e quindi non compariva XD

scusate, ma sono troppo impaziente di sapere se la mia soluzione è giusta dato ke ho letto qualche giorno fa la parte sugli ordini moltiplicativi delle schede olimpiche e non so ancora bene come si usino... x ki vuole tentare di risolvere il problema quindi nn leggete qua sotto:

se p=2 allora dividerà sempre 5^q+1 dato che è una somma di due numeri dispari, quindi si cerca quando q|5^2+1=26 da cui si ricavano le soluzioni (2,2); (2,13); (13,2) (da ora si considerano p e q primi maggiori di 2).

se p=3 e q>2 esso è dispari, si può quindi effettuare la fattorizzazione 3|5^q+1=(5+1)( 5^(q-1)-…+1)=6(5^(q-1)-…+1). La divisibilità è verificata per ogni q dato che 3|6, si cerca quindi quando q|5^3+1=126=2x3x3x7 da cui q=3,7 da cui si trovano le soluzioni (3,3); (3,7); (7,3), inoltre è facile notare che per p=5 non esiste un q che verifichi la divisibilità.

per p,q>5 si cercano i valori che soddisfino la congruenza 5^q=-1(mod p) detto ordp(5)/2= k si ha che q=k(2n-1) con n>0 intero. Per ogni p>5 è chiaro che k>1 da cui si osserva che il fattore (2n-1) deve essere uguale a 1 altrimenti q sarebbe costituito da due fattori maggiori di 1. Da questo si deduce q=k, è inoltre nota la relazione ordp(5)|(p-1) da cui q|(p-1), facendo lo stesso ragionamento considerando la relazione opposta q|5^p+1 si ottiene p|(q-1). Da queste ultime due relazioni si ricava che q≤p-1 e p≤q-1 da cui q≤p≤q-1 che è ovviamente impossibile. Le uniche possibili coppie (p,q) che soddisfano le condizioni del problema sono quindi (2,2); (2,13); (13,2); (3,3); (3,7); (7,3).

Rispondetemi al più presto. Grazie.

Giusto.