OliForum Matematico

mi è sorto un grosso dubbio riguardante il porre (se si ha un disuguaglianza con 3 variabili) $ a\ge b\ge c $ per poi applicare il riarrangiamento. Pensandoci mi è venuto in mente che chiaramente questa cosa è valida per le disuguaglianze simmetriche, mentre per le cicliche mi sembra più un modo per dire "i casi restanti restanti sono analoghi" che un reale WLOG. Qualcuno può chiarirmi come funziona questa cosa? Ad esempio se bisogna dimostrare
$ a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+ac^2 $, che è ciclica ma non simmetrica, è corretto porre WLOG $ a\ge b\ge c $, o è corretto osservare che date le terne $ \{a,b,c\} $ $ \{a^2,b^2,c^2\} $ il loro ordinamento è lo stesso?? In pratica in una dimostrazione ufficiale cosa bisognerebbe scrivere?

Spero si capisca quello che chiedo, ho provato a cercare altri post a riguardo ma non ne ho trovati...

In generale, sa hai un'espressione ciclica e non simmetrica non puoi supporre l'ordine delle variabili. L'unica cosa che puoi fare è fissare l'ordine di una sola variabile rispetto alle altre, ma non l'ordine complessivo (ad esempio con 3 variabili a, b, c, puoi dire che a è la più grande, oppure la più piccola, oppure l'intermedia, a seconda di quello che ti serve, ma non puoi supporre che $ $ a \geq b \geq c $). Quindi nel caso dell'esercizio di sopra l'osservazione giusta da fare è che $ $ f(x) = x^2 $ è crescente sui positivi e quindi le due terne che hai presentato hanno lo stesso ordine.

ti ringrazio, era esattamente quello che mi interessava sapere
Solo un'ultimo chiarimento: se si hanno 2 terne che non è banale ordinare l'una rispetto all'altra (come invece lo erano le precedenti) allora, sempre se la disuguaglianza è ciclica e non simmetrica, conviene fissare una variabile e fare i casi restanti (che nel caso di 3 variabili sono solo 2) o esiste un'alternativa migliore?