OliForum Matematico

Sia data la circonferenza $ \displaystyle \gamma $ su cui siano
fissati due punti B e C mentre un terzo punto A è variabile su $ \displaystyle \gamma $
Condotta per C la perpendicolare ad AC ,si indichi con P la sua
intersezione con la retta AB.
Determinare il luogo di P al variare di A su $ \displaystyle \gamma $ mentre B e C restano fissi

2 Casi:
AB diametro... è ovvio che P sarà fisso su B quindi il luogo è B.
AB corda... Dimostro che preso un punto P su AB è sempre possibile trovare C su $ $\gamma $ tale che ACP è retto. Da questo deriva ovviamente che il luogo è tutta la retta AB. Preso P chiamo O il punto medio di AP. Traccio la circonferenza di centro O passante per A. Questa incontra $ $\gamma $ in 2 punti (uno è A); chiamo il secondo C. È chiaro che C rispetta ACP retto quindi ho concluso. Le circonferenze si toccano in 2 punti perchè altrimenti sarebbero tangenti... ma allora AB passerebbe per il centro della prima e si ricadrebbe nel primo caso.

EDIT: ho scritto boiate ed ho frainteso il testo... mi scuso comunque lascio perchè è la soluzione dello stesso esercizio ma se a variare non fosse A ma C ;)

Forse sbaglio ma mi pare di aver capito che il ragionamento di Dario si basi sul fatto che per ogni posizione di A su gamma vi sia un luogo.In realtà il luogo è uno solo ed è una certa circonferenza.Lascio a voi stabilire quale !!
Esiste una semplice dimostrazione sintetica ( ed anche una proiettiva per chi vuole
esercitarsi in questo affascinante mondo ...)

Se A sta sull' arco minore CB', dove $ BB' $ è il diametro, allora $ P $ sta su $ AB $ (perché $ \angle ACB > 90 $). Inoltre CPB vale sempre $ 90+\alpha $, dunque P descrive l'arco $ AB $ capace di $ 90+\alpha $. Identico ragionamento se A sta sull'arco maggiore, solo che P descrive l'arco supplementare del precedente. In poche parole il luogo è la circonferenza che passa per CB, il cui arco minore CB è capace di $ 90-\alpha $.

La soluzione di GioacchinoA è giusta ( anche se andrebbe definito meglio chi
è l'angolo alfa).Una figura può servire a chiarire la cosa.
[La retta BQ è la tangente a gamma in B e CQ è la perpendicolare a BC]

Ma scusa, forse sbaglio, ma se A sta sull'arco maggiore CB', il punto P non è definito! Nel senso... basta e avanza metà della soluzione di Gioachino!

karl ha scritto: (anche se andrebbe definito meglio chi è l'angolo alfa)

Nella mia soluzione uso la notazione standard, quindi $ \angle BAC = \alpha $.

Gauss91 ha scritto: Ma scusa, forse sbaglio, ma se A sta sull'arco maggiore CB', il punto P non è definito

karl ha scritto: si indichi con P la sua
intersezione con la $ \textbf{retta} $ AB

P.S. Nessuno tenta la soluzione proiettiva ?