OliForum Matematico

Sia data una n-upla $ (x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}^+ $.
Sapendo che $ \sum\limits_{cyc} x_1=1 $ , dimostrare che
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{x_1}{\sqrt{1-x_1}} \ge \sqrt{\dfrac{n}{n-1}} $

se non sbaglio è arci-risaputa..

exodd ha scritto:se non sbaglio è arci-risaputa..

ma è sempre bella per chi la vede per la prima volta

Propongo a tutti di dimostrarla in più modi possibili.

Comincio io.

Sostituendo $ $y_i=1-x_i$ $ ottengo $ $\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{y_1}} \ge \sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sum_{cyc}\sqrt{y_1}$ $ con $ $\sum_{cyc}y_1=n-1$ $
1) Dimostro che $ $\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{y_1}}\ge\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sqrt{n(n-1)}$ $:
raccogliendo e dividendo per $ $n$ $ ho $ $\dfrac{\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{y_1}}}{n}\ge\sqrt{\dfrac{n}{n-1}$ $ che è vera per HM-QM.
2) Dimostro che $ $\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sqrt{n(n-1)}\ge\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sum_{cyc}\sqrt{y_1}$ $ cioè $ $\sqrt{n(n-1)}\ge\sum_{cyc}\sqrt{y_1}$ $:
è vera per CS prendendo come specie $ $a_1=...=a_n=1$ $ e $ $b_i=\sqrt{y_i}$ $.

Unendo la 1) con la 2) ottengo la tesi.