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Spero non sia già stato postato, non ho trovato nulla..
Trovare tutte le coppie di funzioni f da Z in Z e g da Z in Z tali che
-$ f(g(x)+y)=g(f(y)+x) $
-g è iniettiva

Prima funzionale della mia vita quindi perdonatemi a prescindere
Essendo $ g(x) $ iniettiva, esiste la sua inversa nel suo codominio, che per ipotesi è $ \mathbb Z $. Trasformiamo l'equazione così:
$ f(y) = g^{-1}(f(g(x) + y) - x $, in particolare, ponendo y = 0,
$ f(0) = g^{-1}(f(g(x)) - x $, che deve valere per tutti gli x: per esempio vale per $ x_1 $ e $ x_2 $ ottenendo
$ g^{-1}(f(g(x_1))) - x_1 = g^{-1}(f(g(x_2))) - x_2 $, da cui
$ g^{-1}(f(g(x_1))) - g^{-1}(f(g(x_2))) = x_1 - x_2 $, $ \forall (x_1, x_2) \in \mathbb{Z}^2 $, cioè
$ g^{-1}f(g(x))) = x + c $ con c intero. Da questa si ricava $ f(g(x)) = g(x + c) $ (1).
Siccome l'inversa di una funzione è la sua simmetrica rispetto alla bisettrice del 1° - 3° quadrante di un piano cartesiano "usuale", allora sarà
$ g(f(g(x))) = x - c $, da cui, tenendo conto della (1) $ f(g(x)) = g^{-1}(x-c) = g(x+c) $. Ciò significa che il grafico di $ g $ ha un asse di simmetria parallelo alla bisettrice del 1°-3° quadrante (infatti la relazione precedente dice che il grafico di $ g $ e quello di $ g^{-1} $ coincidono a meno di una traslazione). Sia quest'asse di simmetria la retta $ r : y = x + s $. Sia $ a $ un punto del grafico di $ g $, e sia $ a' $ il suo simmetrico rispetto alla retta $ r $, allora
$ \displaystyle\frac{|a - g(a) + s|}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{|a' - g(a') + s|}{\sqrt{2}} $, cioè $ g(a) - g(a') = a - a' $ e $ g(a) + g(a') = a + a' + 2s $ da cui $ g(x) = x + s $.
Sostituendo questo risultato nell'equazione iniziale, si ha
$ f(x+s+y) = f(y) + x + s $, cioè $ f(x+s+y) - f(y) = (x+s+y) - y $, da cui $ f(x) = x + t $, con $ t $ intero.
Ricapitolando, $ f(x) = x + t $ e $ g(x) = x + s $, $ \forall (t,s) \in \mathbb{Z}^2 $ sono soluzioni dell'equazione, come è facile verificare.[/tex]

Gauss91 ha scritto: in particolare, ponendo y = 0,
$ f(0) = g^{-1}(f(g(x)) - x $, che deve valere per tutti gli x: per esempio vale per $ x_1 $ e $ x_2 $ ottenendo
$ g^{-1}(f(g(x_1))) - x_1 = g^{-1}(f(g(x_2))) - x_2 $, da cui
$ g^{-1}(f(g(x_1))) - g^{-1}(f(g(x_2))) = x_1 - x_2 $, $ \forall (x_1, x_2) \in Z^2 $, cioè
$ g^{-1}f(g(x))) = x + c $ con c intero. Da questa si ricava

..Anche per me è il primo es di funzioni quindi..XD..comunque...non capisco questo pezzo: come fai ad essere sicuro che valga sia per x_1 che per x_2? non devi prima dimostrare che appartengono a $ C_g $?disconro analogo per quando dici$ g^{-1}(f(g(x_1))) - g^{-1}(f(g(x_2))) = x_1 - x_2 $, $ \forall (x_1, x_2) \in Z^2 $, se fosse così allora $ C_g=\mathbb{Z} $.
Detto questo, BUON 2010 A TUTTO IL FORUM!!!

Ops mi sono accorto di un fatto banale adesso: il testo dice funzioni DA Z IN Z: cioè il dominio e il codominio sono Z in entrambe le funzioni: quindi tutta la storia di $ C_g $ non ha senso: il codominio è Z. Ora edito.

Ah sei sicuro che significhi questo?.. ..sorry allora..pensavo che significasse che metti nella funzione qualunque numero in Z e lei ti restituisce sempre un numero in Z, non che il codominio sia Z..beh, buono a sapersi grazie

Beh che io sappia, per esempio, la funzione $ f(x) = x^2 $, prendendo x interi, non è una funzione da Z in Z ma da Z in Z+, anzi, da Z all'insieme Q dei quadrati perfetti. Poi non so il problema cosa intenda anche perché come ripeto io di funzionali non ne ho mai fatte, quindi non saprei dirti.
L'unica cosa che so dirti è di NON prendere ciò che dico come "buono a sapersi" perché potrebbe anche non essere vero! Qua mi sa che è più che mai opportuno un intervento "dall'alto"... se qualcuno degli experts potesse chiarire sarebbe una buona cosa!

Uhm...
In verità il testo dice che la funzione riceve come argomento un intero e ne sputa fuori un altro È scritto in modo non formale ma spero si capisca...
Se fosse come dite voi implicherebbe che la funzione è suriettiva... non viene intesa generalmente in questo modo la funzione...
Comunque mi pare superflua tutta l'analisi del dominio e codominio ma qui potrei sbagliarmi.
Invece io non capisco quando dici:

Siccome l'inversa di una funzione è la sua simmetrica rispetto alla bisettrice del 1° - 3° quadrante di un piano cartesiano "usuale", allora sarà$ $ g(f(g(x)))=x-c $

non capisco questa da dove esce e non sono riuscito a ricavarla

Grazie mille per il chiarimento!!=)..comunque quella cosa del simmetrico io avevo capito che salta fuori da questa...

Gauss91 ha scritto:$ g^{-1}f(g(x))) = x + c $ con c intero.

Già: infatti la simmetrica di $ y = x + c $ rispetto alla bisettrice del 1/3 quadrante (cioè l'inversa di y = x+c) è $ y = x - c $.
Sia infatti $ y = x + c $, allora $ x = y - c $, e "switchando" le variabili si ottiene proprio l'inversa.
In un altro modo: la bisec 1/3 quadrante è la retta $ y = x $, quindi $ y = x+c $ sarà parallela ad essa. Si tracci la simmetrica di y = x + c rispetto alla retta y = x, e si tracci la perpendicolare ad entrambe le rette passante per l'origine O: si individueranno due triangoli rettangoli "perpendicolare - retta - asse y" che sono congruenti: quindi se una retta intersecherà l'asse delle y in c, l'altra lo intersecherà in -c.
Invece adesso non ho capito una cosa io: perché è ininfluente l'analisi del dominio e del codominio?

a me qualcosa continua a non quadrare dal punto di vista logico... cioè se tu sapessi che $ g^{-1}(x)=x+c $, allora trovi facilmente che $ x=g(g^{-1}(x)=g(x+c) $ e trovi che $ g(x)=x-c $. Ma in questo caso l'unica cosa che puoi concludere da questa scrittura è che $ f(g(x))=g(x+c) $.
Qualcuno che ne sa più di me potrebbe chiarire le cose a riguardo?

P.S:comunque non è necessario chiamare in causa la funzione inversa, nella mia soluzione non ne faccio uso anche se è un po' lunga e contorta...

Ma in questo caso l'unica cosa che puoi concludere da questa scrittura è che $ f(g(x)) = g(x+c) $

E' proprio quello che ho detto io :

Da questa si ricava $ f(g(x)) = g(x+c) $

a me qualcosa continua a non quadrare dal punto di vista logico... cioè se tu sapessi che $ g^{-1}(x) = x+c $ , allora trovi facilmente che $ x = g(g^{-1}(x)) = g(x+c) $ e trovi che $ g(x) = x-c $

Scusa ma non vedo il nesso con quello che ho detto nella mia dimostrazione...

P.S.: come si fa a mettere "tizio ha scritto"? perché io l'unico pultante che vedo è quote, ma mi fa "citazione" e non per esempio "Maioc92 ha scritto"...

L'inversa di $ $x+c $ è $ $x-c $, e fin qui ok (magari dicendo y=x+c => x=y-c anziché quella cosa dei quadranti), il problema è che l'inversa di $ $g^{-1}(f(g(x))) $ non è $ $g(f(g(x))) $, in generale non è vero che l'inversa di $ &a(b(x)) $ è $ $a^{-1}(b(x)) $: prendi $ $a(x)=x $ e $ $b(x)=x+1 $, fai due conticini e vedi che non quadra.

Ops hai ragione... beh allora da quel momento in poi la mia soluzione non vale più. Mi ritiro sportivamente!

In generale l'inversa di $ a(b(x)) $ è $ b^{-1}(a^{-1}(x)) $.