OliForum Matematico

E' fatto noto che un equazione diofantea in due variabili, del tipo
$ ax+by=c $ abbia soluzioni intere se c divide $ MCD(a,b) $. In particolare è semplice il caso in cui $ MCD(a,b)=1 $ E' anche fatto noto come trovarle.
Mi chiedevo in quale modo (dal momento che credo sia possibile) si può generalizzare questo risultato, ovvero come si possono trovare le soluzioni intere di un'equazione del tipo $ a_1x+a_2y+a_3z+... $ con n coefficienti $ a_i \in \mathbb{Z} $ tutti primi fra loro. Anzi per semplificare li potremo assumere tutti numeri primi.
Se sto dicendo sciocchezze ditemelo!
Grazie, e felice 2010 a tutti i frequentatori dell'oliforum! =)

Per il teorema di Bezout sicuramente funziona se $ c | gcd(a_1, \ldots, a_n) $. Quindi questa è una condizione sufficiente. Però se sia anche necessaria non te lo so dire.

Ok, al fatto che esistano per Bezout ci avevo pensato... Ma come trovarle?

Sia $ gcd(a_1, \ldots, a_n) = d $.
Si trovano i coefficienti $ m_i $ tali che $ m_1a_1 + \ldots + m_na_n = d $. Questi sono facilmente determinabili (per esempio, con i classici vettori riga di n+1 dimensioni).
Quindi moltiplichi a destra e a sinistra per c/d e sarà che $ x_i = m_ic/d $.
Poi fai come al solito (omogenea associata bla bla bla) e trovi le altre.
P.S.: se sono primi fra loro, è solo un caso particolare (che ha ovviamente sempre soluzioni).

Scusami, non riesco a capire... Come fai esattamente a trovare gli $ m_i $? Sarei grato se, qui, o per messaggio privato, mi spiegassi il metodo generale, nel dettaglio... Oppure se linkassi un file di testo dove è spiegato come fare! (Non ne ho trovato)...
Grazie. Ora devo scappare! buon anno! =)

Grazie mille per il pdf!