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Ragazzi, se a = b, ovunque ci sia a posso sostituirlo con b e viceversa. E ciò vale anche se $ a \equiv b \pmod{c} $. Ma allora perché, se per esempio p è un numero primo, essendo $ a^p \equiv a \pmod{p} $, essendo $ p \equiv 0 \pmod{p} $ è sbagliato mettere $ a^p \equiv a^0 \pmod{p} $?

No, se $ a\equiv b\pmod c $ non puoi sostituirli ovunque come con a=b, ti sei fatto l'esempio da solo

Non è che, quando uno ragiona su delle congruenze modulo p, entra in "modalità congruenze", e cessano di esistere i naturali e le altre cose. Gli esponenti sono sempre numeri interi a tutti gli effetti, e non ha senso considerarli forzatamente modulo p, solo perché si trovano in un'equazione modulo p.