OliForum Matematico

Sia $ A \subseteq \mathbb R $ un insieme. Diciamo che $ A $ è aperto se, per ogni $ x \in A $, esiste un intervallo aperto centrato in $ \displaystyle x $ strettamente contenuto in $ A $.

Si dimostri che, se $ A \subseteq \mathbb R $ è aperto, allora è unione numerabile di intervalli aperti.




[è facile, non serve sapere praticamente niente di particolare. L'ho messo in MNE perchè di solito nelle olimpiadi non si parla di aperti e chiusi...]

L'ho appena fatto in analisi... non posto in modo da farlo risolvere a qualcun'altro!

Pigkappa ha scritto:L'ho messo in MNE perchè di solito nelle olimpiadi non si parla di aperti e chiusi...

Volendo agli stage si parla anche di aperti e chiusi (penso che quando si insegnino i moltiplicatori di Lagrange, si introduca almeno anche il concetto di chiuso), ma sicuramente non si parla di numerabilità.

Davvero? Quando io ho fatto le olimpiadi sapevamo cosa volesse dire numerabile, ma di certo non abbiamo mai visto i moltiplicatori di Lagrange!

Visto che credo che molti abbiano già visto quello di Pig, rilancio:
Sia $ $A $ un insieme aperto e limitato di $ $\mathbb{R} $ e sia $ $\mathcal{F}_A $ la famiglia di insiemi aperti
$ $\mathcal{F}_A=\{\lambda A+x|\lambda\in\mathbb{Q^+}, x\in\mathbb{Q}\} $.
Si dimostri che ogni insieme aperto di $ $\mathbb{R} $ è unione numerabile di elementi di $ $\mathcal{F}_A $.

L'idea era quella di dare un esercizio interessante e medio/facile su queste cose in pasto agli olimpionici, non a chi studia già queste cose. Prima di aprire un dibattito sulla didattica della topologia e delle cardinalità nelle Olimpiadi, oppure di rilanciare con esercizi del corso interno in SNS, vediamo se qualcuno fa il problema iniziale...

Ok ok... non volevo impedire a nessuno di fare l'esercizio. È vero, viene dal corso interno, ma al pari del tuo non è difficilissimo e non richiede nessuna conoscenza specifica, se non l'esercizio stesso che hai postato, per questo mi pareva un rilancio naturale anche per gli olimpionici, oltre che una generalizzazione carina di quello che per gli universitari credo sia un fatto noto.

Nonno Bassotto ha scritto:Davvero? Quando io ho fatto le olimpiadi sapevamo cosa volesse dire numerabile, ma di certo non abbiamo mai visto i moltiplicatori di Lagrange!

Sì ma tu sei un nonno...
Intendevo dire che non mi viene in mente un problema o tecnica olimpica o \cosa\ insegnata agli stage in cui sia necessario distinguere tra infinito numerabile e più che numerabile.
Poi sarei felice di sbagliarmi!

Tibor Gallai ha scritto:Volendo agli stage si parla anche di aperti e chiusi (penso che quando si insegnino i moltiplicatori di Lagrange, si introduca almeno anche il concetto di chiuso), ma sicuramente non si parla di numerabilità.

A Pisa c'è qualcuno che mi prende ancora in giro per una vecchia lezione "advanced" in cui avevo provato a spiegare i moltiplicatori di Lagrange e definito un chiuso come "una cosa che contiene il suo bordo" o "una cosa che è definita solo con dei $ \ \leq $" + diversi esempi.
A mia difesa posso solo dire che il "caveat" era quello che c'è nelle dispense di Kedlaya: "le lezioni di analisi alle Olimpiadi devono essere un po' come le lezioni di educazione sessuale alle scuole medie: non devono servire per incoraggiarvi a usare il calcolo, ma per assicurarci che, se proprio dovete farlo, almeno non facciate errori troppo stupidi".

Fedecart ha scritto:L'ho appena fatto in analisi... non posto in modo da farlo risolvere a qualcun'altro!

In realtà con Corrado abbiamo solo detto che l'unione infinita di chiusi può essere un aperto, ma non abbiamo accennato a questioni su numerabili/non numerabili...
Come si dovrebbe risolvere il quesito? Ho provato a pensarci un attimo ma non mi è venuto in mente, magari ci tornerò a pensare.

Hint: considera un sottoinsieme denso di R numerabile...

Ok, forse ho capito.
Consideriamo l'insieme $ D=\mathbb{Q}\cap A $: poichè A è un insieme aperto, $ \forall x \in D \ \exists B_{x}(\varepsilon) \subset A $, dove con $ B_{x}(\varepsilon) $ denotiamo la palla aperta centrata in $ x $ di raggio $ \varepsilon $.
Ora la tesi è equivalente a $ A= \bigcup_{x\in D} B_{x}(\varepsilon) $ (infatti D è sottinsieme di un insieme numerabile, dunque è numerabile).
Supponiamo per assurdo che esista un $ \xi \in A | \ \nexists x \in D | \ \xi \in B_{x}(\varepsilon) $. Allora, poichè A è aperto, esiste un intorno $ [ \xi-\delta, \xi + \delta ] $ privo di numeri razionali, il che è assurdo per l'archimedeità di $ \mathbb{R} $.

Davide90 ha scritto:Allora

Questo è falso. Può essere che ad averti confuso sia il fatto che quegli $ $\varepsilon $ dipendono da $ $x $. Quindi ti conviene chiamarli $ $\varepsilon_x $.
Dunque, trova un controesempio che fa saltare la tua dimostrazione, e correggila. L'impostazione è giusta...

è unione di intervalli aperti con estremi razionali contenuti in A

Invece l'intersezione numerabile di aperti può dare un chiuso, giusto?