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n+1|2(n+2n-2+3n-6+..)
Inviato: 03 gen 2010, 21:41
da exodd
dimostrare che, se n+1 è un primo maggiore di 3,
$ n+1|1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+\frac{n}{2}*(\frac{n}{2}+1) $
dimostratelo nel modo più corto possibile..
Re: n+1|2(n+2n-2+3n-6+..)
Inviato: 03 gen 2010, 21:59
da julio14
exodd ha scritto:$ n+1|1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+\frac{n}{2}*(\frac{n}{2}+1) $
La somma è mal espressa... i puntini mi sembrano essere una forma contratta per dire "di qua aumenta di 1, di là diminuisce di 1", ma si parte con degli interi e poi ci si ritrova $ $\frac n2 $ che per primi maggiori di 3 non è intero...
Re: n+1|2(n+2n-2+3n-6+..)
Inviato: 03 gen 2010, 22:01
da exodd
julio14 ha scritto:exodd ha scritto:$ n+1|1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+\frac{n}{2}*(\frac{n}{2}+1) $
La somma è mal espressa... i puntini mi sembrano essere una forma contratta per dire "di qua aumenta di 1, di là diminuisce di 1", ma si parte con degli interi e poi ci si ritrova $ $\frac n2 $ che per primi maggiori di 3 non è intero...
n+1 è primo, quindi n è pari..
Inviato: 03 gen 2010, 22:02
da julio14
Ah ok... allora scusa
Inviato: 03 gen 2010, 23:14
da Maioc92
quell'espressione modulo n+1 diventa
$ \displaystyle -\sum_{i=1}^{\frac n 2}i^2=-\frac{\frac n 2(\frac n 2+1)(n+1)}{6} $ per la nota formula della somma dei primi k quadrati. Poichè n+1>3, si conclude che quest'ultima espressione è $ \equiv 0\pmod{n+1} $. Non è tanto lunga cosi
Inviato: 04 gen 2010, 00:02
da jordan
E' vero una cosa molto piu generale: per ogni intero positivo $ m $ della forma $ 6k\pm 1 $ vale $ \displaystyle m \mid \sum_{1 \le i \le m-1, \text{gcd}(m,i)=1}{i^2} $ ( per una dimostrazione vedi
qui).
Riguardo il problema originale, dobbiamo dimostrare che $ \displaystyle m \mid \sum_{1 \le i \le m-1}{i^2} $ per ogni $ m \in \mathbb{P}\setminus \{2,3\} $. Ovviamente $ \displaystyle m \mid \sum_{1 \le i \le m-1}{i} $ quindi $ m $ divide anche $ \displaystyle \left(\sum_{1 \le i \le m-1}{i}\right)^2=\left(\sum_{1\le i\le j\le m-1}{ij}\right) $. Se dimostro che $ m $ divide $ \displaystyle \left(\sum_{1\le i< j\le m-1}{ij}\right) $ allora per differenza ho la tesi. Ma questo è vero perchè in $ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} $ vale $ x^{m-1}-1=\displaystyle \prod_{1 \le i \le m-1}{(x-i)} $. []
Re: n+1|2(n+2n-2+3n-6+..)
Inviato: 04 gen 2010, 09:57
da exodd
essenzialmente, la mia è la stessa di jordan
$ 2[1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+\frac{n}{2}*(\frac{n}{2}+1)]=(n+1)^2+(n+1)^2+...-(1^2+2^2+...+p^2) $
semplicemente usando il quadrato di binomio
$ 2*i*(n+1-i)=(n+1)^2-i^2-(n+1-i)^2 $