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Siano $ ~a,b,c $ i lati di un triangolo e $ ~\alpha,\beta,\gamma $ gli angoli opposti ad essi rispettivamente. Mostrare che
$ \displaystyle~\frac{\tan(\frac{\alpha}{2})}{a}+\frac{\tan(\frac{\beta}{2})}{b}+\frac{\tan(\frac{\gamma}{2})}{c}\le3\cdot\frac{\tan(\frac{\alpha}{2})+\tan(\frac{\beta}{2})+\tan(\frac{\gamma}{2})}{a+b+c} $

Intanto dimostro che se $ a\ge b $ allora $ \displaystyle\frac{\tan (\frac{\alpha}{2})}{a}\ge \frac{\tan (\frac{\beta}{2})}{b} $. Per farlo ricordo che $ \displaystyle\tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} $. Sostituisco ed ho che per il teorema dei seni $ \displaystyle\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b} $. Quindi semplifico e rimane da dimostrare che $ 1+\cos\beta\ge 1+\cos\alpha $, cioè che $ \cos\beta\ge \cos\alpha $. Questo è vero perchè se $ a\ge b $ allora $ \alpha\ge\beta $, ed il coseno è una funzione decrescente in $ (0,\pi) $.

Ma allora ottengo la tesi applicando chebycheff alle terne $ (a,b,c) $ e $ \displaystyle (\frac{\tan (\frac{\alpha}{2})}{a},\frac{\tan (\frac{\beta}{2})}{b},\frac{\tan (\frac{\gamma}{2})}{c}) $

Potresti darmi un link di chebycheff o spiegarmela perché non la trovo da nessuna parte!

ecco:
http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguagli ... ulla_somma
in genere viene sempre detto di stare alla larga dalla wiki italiana, ma ho dato una controllata veloce e non mi pare ci siano scemenze...
solo una cosa: le n-uple sono reali qualsiasi, perchè li non è specificato

Grazie mille! Ora ho anche capito la tua dimostrazione