OliForum Matematico

Ciao a tutti, in questi giorni mi sto preparando per le gare di Febbraio, ammazzandomi di esercizi delle gare precedenti.
Purtroppo non mi è chiara la soluzione dell'esercizio 13 della gara del 2007, che provo a scrivere anche se non ho ancora imparato ad usare il latex..
Perdonatemi

Sia p(x) = x^20 + a(19) x^19 + a(18) x^18 + ... + a(1) x + a(0) un polinomio, con gli a(i) interi. Sappiamo che, per tutti gli interi k compresi tra 1 e 20, p(k) = 2k .
Quali sono le ultime tre cifre di p(21)?

Non ho assolutamente idea di come impostarlo, e la stessa soluzione proposta non mi aiuta. Non capisco perchè dice che q(x) = p(x) - 2x. Grazie in anticipo per l'aiuto

Costruendo un polinomio $ q(x)=p(x)-2x $, q(1),q(2)...q(20) varranno 0 per ipotesi, quindi $ q(x)=(x-1)(x-2)...(x-19)(x-20) $ (perchè anche q(x) è di grado 20 e ha come primo coefficiente 1). Quindi sarà $ p(x)=q(x)+2x=(x-1)(x-2)...(x-19)(x-20)+2x $ e $ p(21)=20\cdot19\cdot...\cdot2\cdot1+42 $.
Ma $ 20\cdot19\cdot...\cdot2\cdot1 $ è divisibile per 1000 (basta pensare a $ 2\cdot5\cdot10\cdot20 $), quindi le sue ultime 3 cifre sono 000. Allora le ultime 3 cifre di p(21) sono 042.

grazie mille!