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1) Determinare tutte le quadruple di reali (x,y,z,w) che verificano l'equazione:
$ \displaystyle 2^{x^2+4y+2}+2^{y^2+4z+2}+2^{z^2+4w+2}+2^{w^2+4x+2}=1 $

2) Siano a,b,c 3 numeri reali soddisfacenti le condizioni:
$ \displaystyle |a|^3 \leq bc , a^6+b^6+c^6 \geq \frac{1}{27} $
Dimostrare che è :
$ \displaystyle b^2+c^2 \geq \frac{1}{3} $

3) Sia (a,b,c) una terna di reali distinti .Le due equazioni :
$ \dsiplaystyle x^2+ax+1=0,x^2+bx+c=0 $ hanno una radice in comune.
E così pure le equazioni :
$ x^2+x+a=0,x^2+cx+b=0 $
Calcolare la somma a+b+c

Well, provo a risolvere il primo, anche se ho fatto un ragionamento, che non so se è giusto.
Dunque, dal grafico dell'esponenziale $ 2^x $, noto che $ 2^x >1 $per ogni $ x>0 $, quindi devo supporre:
$ x^2+4y+2<0 $
$ y^2+4z+2<0 $
$ z^2+4w+2<0 $
$ w^2+4x+2<0 $
E fin qui dovrebbe essere tutto giusto.
Poi noto che le quattro disequazioni sono simetriche (sarà giusto dire cosi?), allora le soluzioni di $ x $saranno uguali alle soluzioni di $ y $, di $ z $, e di $ w $. Perciò posso supporre $ x =y=z=w $. Ecco, qui gradirei se qualcuno mi confermasse o mi smentisse se questo ragionamento è fattibile. A questo punto riscrivo l'equazione iniziale come:
$ 4\cdot2^{x^2+4x+2}=1 $
$ 2^{x^2+4x+2}=2^{-2} $
$ x^2+4x+2=-2 $
$ (x+2)^2=0 $
$ x=-2=y=z=w $

Ora provo col secondo quesito.
Elevo al quadrato la prima ipotesi: $ a^6 \leq b^2c^2 $
Sostituisco nella seconda ipotesi:$ b^2c^2+b^6+c^6\geq1/27 $
Ora noto che: $ (b^2+c^2)^3=b^6+c^6+b^2c^2(3b^2+3c^2) \geq b^2c^2+b^6+c^6 \geq 1/27 $
Quindi $ (b^2+c^2)^3 \geq 1/27 $, perciò $ b^2+c^2 \geq 1/3 $

Iuppiter ha scritto: $ b^6+c^6+b^2c^2(3b^2+3c^2) \geq b^2c^2+b^6+c^6 $

In questo passaggio hai usato la tesi
Invece nel primo quesito non ho nemmeno capito cosa intendi, ma mi sembra che non abbia un senso logico....

Se vuoi un paio di hint, prova a usare AM-GM nel primo e nel secondo chiama $ s=b^2+c^2 $ e vedi l'ipotesi come $ s^3-3b^2c^2s+b^2c^2-\frac 1{27}\ge 0 $

@Iuppiter: nel primo quesito non puoi supporre x=y=z=w perché l'essere "cicliche" vuol dire solo che se ho una soluzione [facciamo che sia (3,1,2,-5)] e scambio x con y, y con z, z con w e e con x [(1,2,-5,3)] ottengo un'altra soluzione.