OliForum Matematico

È unsolved su mathlinks da più di una settimana, quindi mi scuso se ho sparato troppo in alto (io ci devo ancora ragionare..)

Trovare tutti gli interi positivi $ n $ tali che $ n^3-8n+13 $ è un quadrato perfetto.

Mi è sorto un dobbio: avrebbe un minimo di senso in un problema del genere applicare la formula di Cardano per l'equazione cubica?

potresti provare, magari imponendo n^3-8n+13-k^2=0.

Io non mi ci azzardo

Che ci posso provare lo sapevo, è che non so cosa imporre di intelligente nel risolverlo, dato che a quanto ho capito non serve mettere cio' che è sotto la radice quadrata positivo o al più nullo, si perderebbero comunque delle soluzioni.
Esempio: $ x^3-15x-4=0 $
Come mi dovrei comportare in questi casi?

ndp15 ha scritto:Che ci posso provare lo sapevo, è che non so cosa imporre di intelligente nel risolverlo, dato che a quanto ho capito non serve mettere cio' che è sotto la radice quadrata positivo o al più nullo, si perderebbero comunque delle soluzioni.
Esempio: $ x^3-15x-4=0 $
Come mi dovrei comportare in questi casi?

Beh in teoria potresti provare a fare i vari casi di maggiore o minore di 0, ma ora che ci penso suppongo che sia improbabile dover inoltrarsi nelle radici cubiche di polinomi complessi e non solo: non ti chiede i reali bensì gli interi, mentre con la formula di cardano secondo me sarebbe già difficile trovare una generica forma reale.

Mi spiego, in $ x^3-15x-4=0 $ tu applichi la formula e ottieni le due radici cubiche di 2+11i e 2-11i. E qui diventa difficile: in quanto dovresti renderti conto che (2+i)^3 = 2+11i e che (2-i)^3 = 2-11i. A quel punto si semplificano le radici e ti rimane 2+i+2-i=4. Perchè solo una soluzione e non tre? Perchè 2+i non è l'unica radice di 2+11i, e così per l'altro. E' già un lavoro titanico per una equazione non parametrica, tu figurati se inserisci anche un k^2...

Secondo me (secondo me eh, il fatto che non sia ancora stato risolto su mathlinks mi preoccupa alquanto) è uno di quegli esercizi in cui le soluzioni sono pochissime e basse, in cui in pratica bisogna cercare non di trovare quelle giuste quanto piuttosto di eliminare quelle che non possono essere, fino ad arrivare ad un insieme molto piccolo da cui ricavare le soluzioni.

Sì, facile a parole...

ndp15 ha scritto:È unsolved su mathlinks da più di una settimana, quindi mi scuso se ho sparato troppo in alto (io ci devo ancora ragionare..)

Trovare tutti gli interi positivi $ n $ tali che $ n^3-8n+13 $ è un quadrato perfetto.

Soluzione. È noto che gli unici punti a coordinate intere $(x, y)$ sulla curva ellittica $y^2=x^3-8x+13$ sono $(3, \pm 4)$. Se ne conclude che l'unico valore possibile di $n$ è $3$.

<enigma>² ha scritto:

ndp15 ha scritto:È unsolved su mathlinks da più di una settimana, quindi mi scuso se ho sparato troppo in alto (io ci devo ancora ragionare..)

Trovare tutti gli interi positivi $ n $ tali che $ n^3-8n+13 $ è un quadrato perfetto.

Soluzione. È noto che gli unici punti a coordinate intere $(x, y)$ sulla curva ellittica $y^2=x^3-8x+13$ sono $(3, \pm 4)$. Se ne conclude che l'unico valore possibile di $n$ è $3$.

qui ci sta un bel "sò meglio io"

Mi sembra troppo eccessivo l'uso di una curva ellittica in un contesto olimpico, magari ci sara una soluzione diversa, ma ci penso dopo.Già ora ho finito un'altro problema

E' molto simile a Cesenatico 2011, problema 5.
L'equazione può essere riscritta come$ (n-3)(n^2+3n+1)=(x-4)(x+4) $
Si procede suddividendo i casi sul modello proposto a cesenatico e si trovano le soluzioni ($ 3,4 $) ($ 3,-4 $) (-$ 23\over{64} $,$ 2037\over{512} $) (-$ 23\over{64} $,-$ 2037\over{512} $) Solo la prima coppia accettabile

<enigma>² ha scritto:

ndp15 ha scritto:È unsolved su mathlinks da più di una settimana, quindi mi scuso se ho sparato troppo in alto (io ci devo ancora ragionare..)

Trovare tutti gli interi positivi $ n $ tali che $ n^3-8n+13 $ è un quadrato perfetto.

Soluzione. È noto che gli unici punti a coordinate intere $(x, y)$ sulla curva ellittica $y^2=x^3-8x+13$ sono $(3, \pm 4)$. Se ne conclude che l'unico valore possibile di $n$ è $3$.

E' noto che tutti gli zeri della funzione di Riemann hanno parte immaginaria 1/2. -.-

jordan ha scritto:E' noto che tutti gli zeri della funzione di Riemann hanno parte immaginaria 1/2. -.-

Forse intendevi tutti gli zeri non banali hanno parte reale $\frac 1 2$?

No, intendevo che rispondere a un problema con "e' noto che la soluzione e' S" non ha senso.