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Siano $ $a,b,c$ $ le lunghezze dei lati di un triangolo. Dimostrare che
$ 3(a^3+b^3+c^3)+23abc\le4(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) $

poniamo ora che $ $a,b,c$ $ non possano essere le lunghezze dei lati di un
triangolo. Dimostrare che
$ 15abc\le4(a^3+b^3+c^3) $

ma nella prima serve l'ipotesi che siano lati di un triangolo? Inoltre non può essere migliorata come disuguaglianza?
Svolgendo i pochi calcoli rimane:
$ \displaystyle a^3+b^3+c^3+\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2\ge 23abc $
Ma $ \displaystyle a^3+b^3+c^3\ge 3abc $
e $ \displaystyle 12\sum_{cyc}(a^2b+bc^2)\ge 24abc $ per AM-GM, quindi invece di 23 si può mettere un 27.

Invece la seconda viene ordinando le variabili ($ a\ge b\ge c $) e ponendo $ a=b+c+k $ con $ k\in\mathbb R, k\ge 0 $. Però anche in questo caso può essere migliorata un po' mi pare

Secondo me la seconda diseguaglianza è errata.Infatti ,dal momento
che l'unica limitazione è che a,b,c non siano lati di un triangolo ,si
può scegliere $ \displaystyle a=b=c =1 $ ed in tal caso
si ha 15<12.L'unica terna che soddisfa la diseguaglianza finisce con
l'essere (0,0,0)

karl ha scritto:Secondo me la seconda diseguaglianza è errata.Infatti ,dal momento
che l'unica limitazione è che a,b,c non siano lati di un triangolo ,si
può scegliere $ \displaystyle a=b=c =1 $ ed in tal caso
si ha 15<12.L'unica terna che soddisfa la diseguaglianza finisce con
l'essere (0,0,0)

Probabilmente non ho capito nulla come al solito io, ma se $ \displaystyle a,b,c $ non sono lati di un triangolo, con gli $ \displaystyle a,b,c $ da te scelti non si puo' formare un triangolo equilatero di lato $ \displaystyle 1 $ ?

Per la seconda parte assumo $ \displaystyle~a,b,c\in\mathbb{R}^+ $; l'ipotesi dice che uno dei tre numeri non è minore della somma degli altri due (wlog c).
Dunque possiamo porre $ \displaystyle~c=a+b+d,~d\in\mathbb{R}_0^+ $. Allora vale
$ \displaystyle~5abc\le a^3+b^3+c^3 $

Poniamo $ \displaystyle~m=\frac{a+b}{2} $. La disuguaglianza diviene
$ \displaystyle~5ab(2m+d)\le a^3+b^3+(2m+d)^3 $ (*)
ora se ad $ \displaystyle~a $ e $ \displaystyle~b $ assegniamo il valore $ \displaystyle~m $ il 1° membro aumenta e il 2° membro diminuisce infatti:
$ \displaystyle~ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 $ (AM-GM o quello che volete)
$ \displaystyle~a^3+b^3\ge 2m^3 $ dato che $ \displaystyle~a^3+b^3=2m(a^2-ab+b^2) $ e che $ \displaystyle~a^2-ab+b^2\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 $ (ancora AM-GM)
quindi basta dimostrare la (*) quando $ \displaystyle~a=b=m $:
$ \displaystyle~5m^2(2m+d)\le 2m^3+(2m+d)^3 $, da cui sviluppando
$ \displaystyle~10m^3+5m^2d\le 10m^3+12m^2d+6md^2+d^3 $
$ \displaystyle~0\le d(7m^2+6md+d^2) $
segue la tesi. L'uguaglianza (nella mia) vale con le terne $ \displaystyle~(a,a,2a) $ e cicliche.

Sono io che ho male interpretato il problema e non ndp15 a non aver capito.