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Si dispone di ventisette dadi, ciascuno con i numeri dall'uno al sei. Si consideri un solido formato incollando tutti i dadi assegnati in base alle seguenti regole: due dadi possono essere incollati tra loro solo sovrapponendo esattamente due facce siglate con lo stesso numero; non vi possono essere due dadi aventi facce sovrapposte se queste sono siglate con numeri diversi; ciascun dado è incollato ad almeno un altro dado. Si dimostri che, sommando i numeri presenti sulla superficie visibile di un solido così ottenuto, si ottiene sempre un numero dispari.

E' facilissimo, prevedo che lo smonterete in pochi minuti.

Io ci provo!

La somma dei valori dei dadi prima di unirli è $ \frac{6*7}{2}*27 $ cioè dispari.

Ogni faccia a contatto nel solito toglie da questa somma 2 volte lo stesso numero quindi $ dispari - 2n $ è ancora dispari.

Dimostrare anche che tale somma è un multiplo di sette (ammesso che stiamo usando dadi tradizionali).

Se li metto tutti in fila con le facce a contatto solo (esempio) 1 e 6 alternativamente. Essendo 27 dispari vedo che in effetti la somma è un $ 7n $.

Da adesso ogni mossa consite nello staccare un dado e riattaccarlo da un'altra parte.
Succede che quando stacco, aggiungo 2 volte il numero della faccia staccata al sistema; in questo caso posso staccare un 6 aggiungendo al sistema 12 cioè 5 mod7. ora lo riattacco con un 2, cioè tolgo 2*2=4, e la congruenza modulo 7 della nostra composizione è 1. Quindi l'ipotesi non è sempre verificata.

Ho sbagliato?

Oh che sbadato, attaccare un dado per due facce uguali significa che le facce uguali sono orientate in senso opposto, non nello stesso senso!

Beh capita.... Se fossero orientati uguali serebbe indubitabilmente vero!