OliForum Matematico

Siano $ \sum \ bla $ le somme simmetriche.
Si dimostri, per ogni $ (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 $:
$ \sum a^4b^2+ 2\sum a^3b^2c \geq \sum a^4bc + \sum a^3b^3 + \sum a^2b^2c^2 $.
Esistono soluzioni di lunghezza variabile (pantagrueliche, ma anche lillipuziane).

bah, dopo aver sbagliato già una volta i conti questa volta la tesi dovrebbe veramente essere equivalente a
$ (a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b))^2 \geq 0 $

probabilmente è la stessa di fabio (anzi, è sicuramente uguale ma meno elegante), ma forse è appena un po' meno calata dall'alto, nel senso che fa uso di 1 passaggio in più:
Riscrivo come
$ \displaystyle LHS=(a^2b+b^2c+ac^2)^2+(ab^2+bc^2+a^2c)^2\ge RHS $
Ora uso AM-GM e ottengo che
$ \displaystyle LHS\ge 2|(a^2b+b^2c+ac^2)(ab^2+bc^2+a^2c)|=|\sum_{sym}a^3b^3+\sum_{sym}a^4bc+\sum_{sym}a^2b^2c^2| $, che è la tesi.

L'ho postata solo per mia (piccola) soddisfazione personale, perchè è una delle poche volte che mi viene una disuguaglianza

Molto bene! Ora posto la mia:
porto tutto all'LHS e trovo
$ \Pi_{cyc} (a-b)^2 $.
Che fornisce direttamente anche i casi di uguaglianza.

ghilu ha scritto:porto tutto all'LHS e trovo
$ \Pi_{cyc} (a-b)^2 $.

Uh? Temo che tu ti sia perso qualche esponente per strada.
Comunque noto che proporvi la "vasc inequality" al Winter è stato fruttuoso...

Esponente? Dove? Sesto grado... funziona...non capisco...

Ok, no, sono io che non so più leggere. Sorry

Ti capisco. Io non so scrivere..

Uh ma che bello... ultimamente un sacco di revival!!!

viewtopic.php?t=5640&highlight=

ps posto i link vecchi perchè magari c'è qualche spunto interessante ancora non sorto