OliForum Matematico

in realtà è sempre la stessa disuguaglianza, ma questa soluzione penso meriti un topic tutto per sé:
infatti moltiplicando il moltiplicabile, semplificando il semplificabile e omogenizzando l'omogenizzabile si ottiene che

$ $ \frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}}\leq\frac{3}{4} $ $

è equivalente a

$ 11\sum{a^6}+657\sum{a^4b^2}+132\sum{a^2b^2c^2} \geq 36\sum{a^5b}+210\sum{a^4bc}+14\sum{a^3b^3}+540\sum{a^3b^2c} $
(dove tutte le somme sono somme simmetriche)

Sì è diabolica...

PS @fph: questa puoi veramente considerarla come la mia vendetta per la Vasc


Cmq, any idea???

Scusa, qual è il vincolo su a, b, c?

ah, ok, nella disuguaglianza originale (che cmq trovi in un topic poco distante) si ha a,b,c reali positivi a somma 3.

Si può migliorare un po' la situazione:
da $ \displaystyle~(b+c-2a)^6+(c+a-2b)^6+(a+b-2c)^6\ge 0 $ dividendo per 3 e semplificando
$ \displaystyle~\sum(11 a^6 + 105 a^4b^2 + 60 a^4bc + 60 a^2b^2c^2) \ge \sum(66 a^5b + 50 a^3b^3 + 120 a^3b^2c) $
da cui $ \displaystyle~\sum(11 a^6 + 657 a^4b^2 + 132 a^2b^2c^2) \ge $$ \displaystyle~\sum(66 a^5b + 50 a^3b^3 + 120 a^3b^2c + 552 a^4b^2 - 60 a^4bc + 72 a^2b^2c^2) $
rimane da mostrare che
$ \displaystyle~\sum(66 a^5b + 552 a^4b^2 + 50 a^3b^3 + 120 a^3b^2c + 72 a^2b^2c^2) \ge $$ \displaystyle~\sum(36 a^5b + 270 a^4bc + 14 a^3b^3 + 540 a^3b^2c) $
cioè semplificando
$ \displaystyle~\sum(5 a^5b + 92 a^4b^2 + 6 a^3b^3 + 12 a^2b^2c^2) \ge \sum(45 a^4bc + 70 a^3b^2c) $
che mi pare vera, come pure questa (più forte per Bunching):
$ \displaystyle~\sum(26 a^4b^2 + 3 a^3b^3 + 6 a^2b^2c^2) \ge \sum(35 a^3b^2c) $
non garantisco che siano vere le ultime 2 però da qualche grafico promettono bene..

io dico di partire dall'idea che $ (a^3+abc-2a^2b)^2\ge 0 $. Sommando con le sue simmetriche si dovrebbe ottenere (se non ho sbagliato) che $ \displaystyle \sum a^6+\sum a^2b^2c^2+4\sum a^4b^2+2\sum a^4bc\ge 4\sum a^5b+4\sum a^3b^2c $, dove come al solito tutte le somme sono simmetriche.
Usando questo fatto tutto il resto dovrebbe venire per AM-GM e bunching. Se qualcuno mi conferma che l'idea va bene ma che magari c'è qualcos'altro di poco chiaro, allora scrivo tutto per intero.

P.S: grazie fabio per i calcoli, io invece di 20 minuti probabilmente ci avrei messo un'ora e mezzo

@kn: la seconda è vera se trovi l'AM-GM che ti "uccida" i termini più antipatici (non cercare mostruosità, è (per fortuna), sempliciotta).

@Maioc92: sì, funziona, con una AM-GM utilizzata per lo stesso motivo.