OliForum Matematico

Dimostrare che l\'equazione
<BR>x^5 + x = 10
<BR>non ammette radici razionali[addsig]

Mi sembra di ricordare un vecchio teoremino che Marcella (la mia ex prof di mate, mi fece imparare). Diceva se una frazione p/q ridotta ai minimi termini è uno zero di un polinomio allora necessariamente p divide il termine noto e q il coefficiente di grado massimo. Per la nostra equazione x^5+x-10=0 dobbiamo cercare quindi solo tra 1,2,5,10,-1,-2,-5,-10.
<BR>A questo punto si vede che quei numeri non sono zeri manco da lontano, quindi l\'equazione non ha soluzioni razional.... (il teoremino è facile da dimostrare comunque, almeno mi pare...)[addsig]

Non se se è rigorosa come dimostrazione, anyway...
<BR>
<BR>f(x) = x^5 + x -10
<BR>f(0) = - 10 < 0
<BR>f(2) = 24 > 0
<BR>
<BR>possiamo stabilire che x[0]=1 sia una stima
<BR>della radice, ed approssimarci in modo
<BR>sempre più preciso secondo la ricorsione
<BR>
<BR>x[n+1] = (10 - x[n]) ^ (1/5)
<BR>
<BR>che, almeno a livello intuitivo, è ovvio non
<BR>generi mai numeri razionali.
<BR>
<BR>Curioso notare che la ricorsione converge
<BR>anche piuttosto rapidamente
<BR>[già con n=8 si ha una radice esatta
<BR> fino alla nona cifra decimale !]

Sia p(x)=sum(a_k*x^k,k=0..n) un polinomio a coefficienti interi, e sia r=p/q una sua radice razionale (p,q interi coprimi).
<BR>Allora, sostituendo, sum(a_k*p^k/q^k,k=0..n)=0, e moltiplicando per q^n tutto,
<BR>sum(a_k*p^k*q^(n-k),k=0..n)=0
<BR>e quindi a_n*p^n=-sum(a_k*p^k*q^(n-k),k=0..n-1). Ora il termine a destra e\' divisibile per q, e poiche\' p e q sono coprimi, allora q DEVE dividere a_n.
<BR>Analogamente, p DEVE dividere a_0.
<BR>Ora va bene no?
<BR>Invece non mi convince jack202... una sequenza di non razionali puo\' benissimo approssimare infinitamente bene un razionale...
<BR>inoltre in (0,2) potrebbero esserci altre radici, a cui il tuo algoritmo, che parte da 1, non converge... mi sembra piu\' semplice la via algebrica!