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Siano $ \displaystyle x_1,x_2,...,x_n $ n interi positivi,aventi per somma S.Dimostrare che si ha:

$ \prod_{i=1}^n x_i^{\frac{x_i}{S}} \geq \frac{S}{n} $

Wlog S=1.
$ x^x=e^{xlnx} $.
Allora la tesi diventa $ $e^{\sum_{i=1}^n x_ilnx_i}\geq e^{ln(\frac{1}{n})} $.
Ma $ y=xlnx $ è convessa (derivata seconda: 1/x) e dunque vale:
$ $\frac{\sum^n_{i=1} x_ilnx_i}{n}\geq\frac{\sum^n_{i=1} x_i}{n}ln\left(\frac{\sum^n_{i=1} x_i}{n}\right) $.
Da cui la tesi.