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Si provi :
$ $2\left[\binom{2a}{a}+\binom{2b}{b}\right] \cdot \binom{2n}{n}\geq \left(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(\sigma (i)+\sigma (n+i+1))\right)^2 $,
essendo $ \sigma (i):\ \{ 0,1,2,\ldots ,2n+1\} \rightarrow \{\binom{a}{0},\binom{a}{1}\ldots\binom{a}{a},\binom{b}{0}\ldots\binom{b}{b}\} $ una funzione biettiva e con $ a+b=2n $.

$ $\sigma(0) $ a cosa corrisponde? E $ $\sigma(2n+1) $ ?

Scusa, mi ero espresso male, ora è corretto.

Rimane il problema... la permutazione va da un insieme con 2n+2 elementi ad uno con 2n elementi :|

AAAAhh! Ho capito l'obiezione... sì, ho scritto 1 al posto di 0, ma ci si poteva arrivare.. anche i binomiali con n vanno da 0 a n..

Dopo essermi tanto lamentato provo a dimostrarlo.
Alur parto col definire $ $\sigma(i)+\sigma(i+n+1)=a_i $ per comodità. tralascerò gli indici e i pedici delle sommatorie, sono intuibili
Per C.S. e per la nota identità sulla somma dei quadrati dei binomiali vale:
$ ${2n\choose n}\left(\sum a_i^2\right)= \left(\sum {n\choose i}^2\right)\left(\sum a_i^2\right)\ge \left(\sum {n\choose i}a_i\right)^2 $*
Inoltre per AM-GM vale:
$ $\sigma(i)^2+\sigma(n+1+i)^2\ge 2\sigma(i)\sigma(n+i+1)\Rightarrow 2(\sigma(i)^2+\sigma(n+1+i)^2)\ge a_i^2 $ **
Sfruttando l'identità sulla somma dei quadrati dei binomiali e ** applicata termine a termine si ottiene:
$ $2\left({2a\choose a}+{2b\choose b}\right)=2\left(\sum \sigma(i)^2+\sigma(n+1+i)^2\right)\ge \sum a_i^2 $ ***
Ora sfruttando * e *** dimostro la disuguaglianza proposta:
$ $ 2\left({2a\choose a}+{2b\choose b}\right){2n\choose n}\ge {2n\choose n}\left(\sum a_i^2\right)\ge \left(\sum {n\choose i}a_i\right)^2 $

p.s. gran bell'esercizio da dove l'hai preso???

EDIT: 500-esimo Messaggio

dario2994 ha scritto:p.s. gran bell'esercizio da dove l'hai preso???

Sarà OWN.

Sì, beh, ho preso la formula dei quadrati dei binomiali e l'ho utilizzata per fare il membro sinistro di un C.S. :
$ $(\sum \binom{a}{i}^2+\binom{b}{i}^2 )(\sum \binom{n}{i}^2+\sum \binom{n}{i}^2 ) $
e per non "abbruttire" il problema con artificiosi aggiustamenti, ho posto $ a+b=2n $. Inizialmente ho pensato di mettere c e d al posto di n (e altre cose), ma poi ho trovato il modo elegante di scrivere l'LHS, come proposto.
A questo punto il RHS viene da sé applicando l'idea iniziale del C.S..
La funzione è ancora intesa a non dover descrivere in modo troppo artificioso gli accoppiamenti (prendendoli tutti faccio prima).