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dimostrare che nessun numero dalla forma (a^3)+3(a^2)+a con a intero positivo, è un quadrato perfetto.

è un vecchio cesenatico, io lo ho risolto con una disuguaglianza dopo un'ora ke tentavo di tutto... e volevo sapere se c'è anke una soluzione ke utilizza solo idee standard ecc (o comunque nn disuguaglianze da inventarsi)

Spero tu non l'abbia risolto partendo dal testo che hai riportato
Correggo io: dimostrare che nessun numero della forma $ a^3+3a^2+a $, con $ \displaystyle a $ intero positivo, è un quadrato perfetto.

hai ragione... ho corretto ora.

raccolgo a, i fattori sono coprimi, quindi devono essere entrambi quadrati perfetti, ma non lo sono...
sbaglio?

gismondo ha scritto:raccolgo a, i fattori sono coprimi, quindi devono essere entrambi quadrati perfetti, ma non lo sono...
sbaglio?

Direi di no. Scrivila per bene che è ok!
E giusto per non perdere punti banalmente, ricordiamo che i fattori sono coprimi tranne per..

a me era venuto in mente di fattorizzarla così:
$ (x+a)(x-a)=a(a+1)^2 $

Abbiamo che:

$ (a^2+3a+1)a=a^3+3a^2+a $

Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $

Si ricava che le soluzioni possibili intere non esistono essendo :

$ a^2+2a+1=0 $

emarmotto ha scritto: Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $

Falso.
Se ti dicessi ad esempio 8*2=16=4^2 ti renderesti conto dell'errore?

$ a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)=k^2 $

Ma $ gcd(a^2+3a+1,a)=gcd(a^2+3a+1-a(a+3),a)=gcd(1,a)=1 $ quindi sia $ a $ che $ a^2+3a+1 $ sono quadrati perfetti, ma questo è impossibile perchè $ (a+1)^2<a^2+3a+1<(a+2)^2 $ quindi è un quadrato perfetto sse uno dei 2 fattori è 0, quindi:
1) $ a=0 $, non accettabile perchè a non è intero positivo
2) $ a^2+3a+1 $=0, non accettabile perchè a non è intero positivo

Sono sicuro che c'è l'errore però, mi sembra facile...

ndp15 ha scritto:

emarmotto ha scritto: Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $

Falso.
Se ti dicessi ad esempio 8*2=16=4^2 ti renderesti conto dell'errore?

Sorry.....!!!!

Giuseppe R ha scritto: Sono sicuro che c'è l'errore però, mi sembra facile...

No dovrebbe essere cosi
Se ci si abitua troppo al livello delirante di Jordan & Co. ormai i Cesenatico sembrano fuffa

Giuseppe R ha scritto: $ lcm(a^2+3a+1,a)=lcm(a^2+3a+1-a(a+3),a)=lcm(1,a)=1 $

chi ha voglia di spiegare ad un ottuso questi tre passaggi?

ale.b ha scritto:

Giuseppe R ha scritto: $ lcm(a^2+3a+1,a)=lcm(a^2+3a+1-a(a+3),a)=lcm(1,a)=1 $

chi ha voglia di spiegare ad un ottuso questi tre passaggi?

lcm corrisponde all'italiano minimo comune multiplo. In quei passaggi si mostra che $ a^2+3a+1 $ e $ \displaystyle a $ sono coprimi, sfruttando il fatto che se $ lcm(m,n)=1 $ allora $ lcm(m+kn,n)=1 $ per $ k $ intero qualsiasi.

ma scusate, per poter dire che sono coprimi non bisognerebbe guardare piuttosto il GCD?

provo a dare un'altra soluzione anche se è probabilmente sbagliata.

$ (a^2+3a+a)\cdot a = k^2 $
ma quindi o i due fattori sono uguali e come abbiamo visto è impossibile, oppure imposto il sistema con $ x,y,k,a \in \mathbb{N} $
$ \begin{cases} a^2+3a+1=x \\ a=ky \\ k=xy \end{cases} $
a questo punto ottengo con un po di sostituzioni che
$ x^2y^4+3xy^2+1=x\\ x(xy^4+3y^2-1)=-1 $
ma quindi uno dei due fattori deve essere negativo
ma x non lo è perchè x è naturale, lo deve essere l'altro quindi:
$ xy^4+3y^2 < 1 $ impossibile se x,y sono naturali.

sarò sbagliata ma almeno capisco perchè e ho fatto esercizio col latex