OliForum Matematico

pongo questo esrcizio che mi è piaciuto e sono riuscito a risolvere dopo un po:chiamiamo QUATERNA RISOLUTRICE una quaterna(x;y;z;w) di numeri interi che risolve l'equazione diofantea:
x+ y+z+w=8
determinare il numero di quaterne risolutrici

piccolo hint:l'ho messo in combinatoria

Eulero ha scritto: di numeri interi

Non negativi?

ndp15 ha scritto:

Eulero ha scritto: di numeri interi

Non negativi?

se fossero negativi la soluzione sarebbe banalmente infinito, quindi immagino intenda non negativi.

Perdonate l'ignoranza...
0 è positivo?

BIN(12,4) = 495 ?

Clara ha scritto:Perdonate l'ignoranza...
0 è positivo?

No,però stiamo considerando i non-negativi,quindi includilo nel problema

trugruo ha scritto:BIN(12,4) = 495 ?

Non mi è chiaro il perchè

Io avrei detto che coi non negativi l'equazione è equivalente a x+y+z+w=12 con i positivi. Quindi $ \binom{11}{3} $, perchè sono i modi di separare queste 12 stecchette.

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trugruo ha scritto: No,però stiamo considerando i non-negativi,quindi includilo nel problema

Occhio che stiamo considerando i non-negativi perchè l'ho scritto io
Il testo originale del problema potrebbe anche essere diverso, ma credo sia questo quello più "naturale".
Comunque c'è una soluzione ad un problema praticamente identico in un video di Gobbino, se la vostra sarà diversa la posto perchè è carina ed istruttiva.

Considerando i vari modi può essere composto 8 usando 4 numeri non-negativi, troviamo (dividendoli secondo le loro combinazioni possibili):

TIPOLOGIA 4!/3! : 8 0 0 0 - 5 1 1 1

TIPOLOGIA 4!/2! : 7 1 0 0 - 6 2 0 0 - 6 1 1 0 - 5 3 0 0 - 4 2 1 1 - 4 2 2 0 - 3 2 2 1 - 3 3 2 0

TIPOLOGIA 4! : 5 2 1 0 - 4 3 1 0

TIPOLOGIA 4!/(2! 2!) : 4 4 0 0 - 3 3 1 1

E infine troviamo 2 2 2 2...

Quindi basta sommare le varie combinazioni possibili, trovando così la nostra soluzione:

2*4!/3! + 8*4!/2! + 2*4! + 2*4!/(2! 2!) + 1 = 165 quaterne accettabili.


Forse è un pò troppo "meccanico", ma dovrebbe funzionare xD scusate se non so usare il LaTex xD

Zorro_93 ha scritto:

trugruo ha scritto:BIN(12,4) = 495 ?

Non mi è chiaro il perchè

Io avrei detto che coi non negativi l'equazione è equivalente a x+y+z+w=12 con i positivi. Quindi $ \binom{11}{3} $, perchè sono i modi di separare queste 12 stecchette.

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lol lasciami perdere mi ero dimenticato di sottrarre 1 ad entrambi XD

Zorro_93 ha scritto:Io avrei detto che coi non negativi l'equazione è equivalente a x+y+z+w=12 con i positivi.

Ehm... perché?

Clara ha scritto:

Zorro_93 ha scritto:Io avrei detto che coi non negativi l'equazione è equivalente a x+y+z+w=12 con i positivi.

Ehm... perché?

immaginati che ci sia un certo numero di quaterne di x,y,z,w che variano da 0 a 8 e che hanno somma 8.
se prendi a=x+1, b=y+1, c=z+1, d=w+1 hai lo stesso numero di quaterne a,b,c,d che variano da 1 a 9 e che hanno somma 12

Clara ha scritto:

Zorro_93 ha scritto:Io avrei detto che coi non negativi l'equazione è equivalente a x+y+z+w=12 con i positivi.

Ehm... perché?

Tutto parte dal fatto che con i non negativi mi incasino a fare il gioco delle stecchette, perchè in uno spazio ci potrebbero essere più stecchette e quindi i binomiali non funzionano (almeno non senza qualche altro ragionamento), quindi mi conviene "regalare" un uno ad oggi incognita.

In altre parole pongo $ x=a-1 $,$ y=b-1 $,$ z=c-1 $,$ w=d-1 $ a questo punto ottengo $ a+b+c+d=12 $, ma $ a,b,c,d $ sono interi positivi, quindi posso usare i binomiali e il numero di soluzioni è uguale a quello dell'equazione originale.

EDIT: scusami Spammowarrior , abbiamo scritto assieme

Chiaro, grazie mille!

adesso se permettete do la mia soluzione visto che mi pare abbiate fatto un po di confusione.... ...
sia (x;y;z;w) una soluzione.a questa associamo un allineamento di 3 asterischi e 8 cerchi in questo modo:
x cerchi-asterisco-y cerchi-asterisco-z cerchi-asterisco-w cerchi
ad esempio alla soluzione (1,2,2,3) corrisponde
o * oo * oo * ooo
l'insieme delle quaterne risolutrici è in corrispondenza biunivoca con le permutazioni di 11 oggetti di cui 3 uguali tra loro e 8 uguali tra loro cioè:
11!/(8!3!)
vi è piaciuto?
bonus question :provate a risolvere l'equazione però con 8= k ed un numero di incognite n