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frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 20:39
da gian92
ciao ragazzi stavo facendo gli esercizi base di TDN di gobbino...
bene per alcune di queste frazioni trovo i valori ma in maniera abbastanza discutibile....
direi che le congruenze non si possono usare...almeno questi dovrebbero essere proprio le cose base base...
ne metto due ...la soluzione che ho trovato io non mi convince (più che altro per la lunghezza...credo sia giusta comunque)
Determinare per quali valori positivi di $ a $ queste espressioni assumono valori interi :
$
\frac{a+37}{2a+1} \endline
$
$
\frac {3a-34}{2a+1} $
p.s. con questo topic abbasso e non di poco il livello della difficoltà degli es. in questa sezione
Inviato: 04 mar 2010, 21:08
da amatrix92
risolvo il secondo:
facendo la divisione tra polinomi trovo $ \frac{3/2 (2a+1) - 71/2} { 2a +1} $
da cui ottengo $ \frac{3}{2} - \frac {71} {2(2a+1)} $
a questo $ \frac {71} {2(2a+1)} $ deve essere un numero n non intero tale che 2n sia intero, ottengo $ \frac {71} {2a+1} $ da cui a=35 e a=0
edit: mi ha anticipato Zorro, ma comunque la mia soluzione è un po' diversa...
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 21:16
da Zorro_93
gian92 ha scritto:ciao ragazzi stavo facendo gli esercizi base di TDN di gobbino...
bene per alcune di queste frazioni trovo i valori ma in maniera abbastanza discutibile....
direi che le congruenze non si possono usare...almeno questi dovrebbero essere proprio le cose base base...
ne metto due ...la soluzione che ho trovato io non mi convince (più che altro per la lunghezza...credo sia giusta comunque)
Determinare per quali valori positivi di $$ $a$ $$ queste espressioni assumono valori interi :
$$ $
\frac{a+37}{2a+1} \endline
$ $$
$$ $
\frac {3a-34}{2a+1}$ $$
p.s. con questo topic abbasso e non di poco il livello della difficoltà degli es. in questa sezione
Io questo tipo di esercizi li risolvo (?) fruttando il fatto che affinchè la frazione sia intera il denominatore dev'essere uguale al massimo comun divisore tra numeratore e denominatore.
Quindi:
$ $(a+37;2a+1)=(a+37;-73)=(a-36;-73)=2a+1$ $ il che va bene intanto per $ $a=0$ $ o $ $a=-1$ $. Poi se l'ultimo membro è diverso da 1 o -1 allora $ $a-36=73k$ $, $ $2a+1=73\cdot2k+73$ $, quindi $ $k=0$ $ e $ $a=36$ $
Il secondo è più o meno la stessa cosa:
$ $(3a-34;2a+1)=(a-35;71)=2a+1$ $ quindi va bene per $ $a=0$ $, $ $a=-1$ $.
Poi se $ $a-35=71k$ $ allora $ $2a+1=71\cdot2k+71$ $, ma allora dev'essere $ $k=0$ $ e $ $a=35$ $
Che ne pensi?
Inviato: 04 mar 2010, 22:26
da Spammowarrior
il primo si risolve anche sfruttando il fatto che per a sufficientemente alti il numeratore è sicuramente minore del denominatore... dopodichè semmai ti calcoli a mano qualche caso.
in questo esempio vedi che a+37>2a+1 se a<36, cosa non fantastica.
però se sommi e sottrai a al numeratore, e dividi in due la frazione, ottieni:
$ 1 + \frac{36-a}{2a+1} $
che da un molto più promettente a<=11 oppure a = 36.
mandando al diavolo l'eleganza matematica ti fai tutti i casi in meno di un minuto, e vedi che a=36 va bene ed è l'unica soluzione.
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 22:28
da gian92
Zorro_93 ha scritto:gian92 ha scritto:ciao ragazzi stavo facendo gli esercizi base di TDN di gobbino...
bene per alcune di queste frazioni trovo i valori ma in maniera abbastanza discutibile....
direi che le congruenze non si possono usare...almeno questi dovrebbero essere proprio le cose base base...
ne metto due ...la soluzione che ho trovato io non mi convince (più che altro per la lunghezza...credo sia giusta comunque)
Determinare per quali valori positivi di $$ $a$ $$ queste espressioni assumono valori interi :
$$ $
\frac{a+37}{2a+1} \endline
$ $$
$$ $
\frac {3a-34}{2a+1}$ $$
p.s. con questo topic abbasso e non di poco il livello della difficoltà degli es. in questa sezione
Io questo tipo di esercizi li risolvo (?) fruttando il fatto che affinchè la frazione sia intera il denominatore dev'essere uguale al massimo comun divisore tra numeratore e denominatore.
Quindi:
$ $(a+37;2a+1)=(a+37;-73)=(a-36;-73)=2a+1$ $ il che va bene intanto per $ $a=0$ $ o $ $a=-1$ $. Poi se l'ultimo membro è diverso da 1 o -1 allora $ $a-36=73k$ $, $ $2a+1=73\cdot2k+73$ $, quindi $ $k=0$ $ e $ $a=36$ $
Il secondo è più o meno la stessa cosa:
$ $(3a-34;2a+1)=(a-35;71)=2a+1$ $ quindi va bene per $ $a=0$ $, $ $a=-1$ $.
Poi se $ $a-35=71k$ $ allora $ $2a+1=71\cdot2k+71$ $, ma allora dev'essere $ $k=0$ $ e $ $a=35$ $
Che ne pensi?
come strategia mi sembra la più efficente...
mi spieghi da dove prendi il -73 nella prima e il 71 nella seconda?
Inviato: 04 mar 2010, 22:28
da gian92
Spammowarrior ha scritto:il primo si risolve anche sfruttando il fatto che per a sufficientemente alti il numeratore è sicuramente minore del denominatore... dopodichè semmai ti calcoli a mano qualche caso.
in questo esempio vedi che a+37>2a+1 se a<36, cosa non fantastica.
però se sommi e sottrai a al numeratore, e dividi in due la frazione, ottieni:
$ 1 + \frac{36-a}{2a+1} $
che da un molto più promettente a<=11 oppure a = 36.
mandando al diavolo l'eleganza matematica ti fai tutti i casi in meno di un minuto, e vedi che a=36 va bene ed è l'unica soluzione.
esattamente come avevo fatto io
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 22:35
da Zorro_93
gian92 ha scritto:
mi spieghi da dove prendi il -73 nella prima e il 71 nella seconda?
Uso l'algoritmo di Euclide per l'MCD. In pratica $ (a;b)=(a-kb;b) $ con $ k $ intero.
Nell'esercizio faccio così: $ (a+37;2a+1)=(a+37;-2\cdot(a+37)+2a+1)=(a+37;-73) $. Allo stesso modo nel 2°
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 22:37
da ndp15
gian92 ha scritto:
come strategia mi sembra la più efficente...
mi spieghi da dove prendi il -73 nella prima e il 71 nella seconda?
$ (2a+1)-2(a+37)=-73 $
$ (3a-34)-(2a+1)=a-35 $ --> $ (3a-34)-3(a-35)=71 $
Devi trovare un metodo furbo per calcolarti mcd
EDIT:anticipato
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 22:38
da gian92
Zorro_93 ha scritto:gian92 ha scritto:
mi spieghi da dove prendi il -73 nella prima e il 71 nella seconda?
Uso l'algoritmo di Euclide per l'MCD. In pratica $ (a;b)=(a-kb;b) $ con $ k $ intero.
Nell'esercizio faccio così: $ (a+37;2a+1)=(a+37;-2\cdot(a+37)+2a+1)=(a+37;-73) $. Allo stesso modo nel 2°
grazie mille della spiegazione
bhe credo che questo sia il metodo definitivo quando numeratore e denominatore sono di primo grado!!
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 22:41
da gian92
ndp15 ha scritto:gian92 ha scritto:
come strategia mi sembra la più efficente...
mi spieghi da dove prendi il -73 nella prima e il 71 nella seconda?
$ (2a+1)-2(a+37)=-73 $
$ [tex] $ (3a-34)-(2a+1)=a-35$ --> $(3a-34)-3(a-35)=71$
Devi trovare un metodo furbo per calcolarti mcd $
grazie mille anche a te, ho capito questo sistema, ora vedrò di imparare a usarlo quando serve perchè mi sembra molto efficace
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 22:43
da Zorro_93
gian92 ha scritto:Zorro_93 ha scritto:gian92 ha scritto:
mi spieghi da dove prendi il -73 nella prima e il 71 nella seconda?
Uso l'algoritmo di Euclide per l'MCD. In pratica $ (a;b)=(a-kb;b) $ con $ k $ intero.
Nell'esercizio faccio così: $ (a+37;2a+1)=(a+37;-2\cdot(a+37)+2a+1)=(a+37;-73) $. Allo stesso modo nel 2°
grazie mille della spiegazione
bhe credo che questo sia il metodo definitivo quando numeratore e denominatore sono di primo grado!!
Già, è un metodo carino. Soprattutto quando vedi che ti permette di risolvere il primo esercizio della prima IMO della storia... son soddisfazioni
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 22:49
da gian92
Zorro_93 ha scritto:gian92 ha scritto:Zorro_93 ha scritto:
Uso l'algoritmo di Euclide per l'MCD. In pratica $ (a;b)=(a-kb;b) $ con $ k $ intero.
Nell'esercizio faccio così: $ (a+37;2a+1)=(a+37;-2\cdot(a+37)+2a+1)=(a+37;-73) $. Allo stesso modo nel 2°
grazie mille della spiegazione
bhe credo che questo sia il metodo definitivo quando numeratore e denominatore sono di primo grado!!
Già, è un metodo carino. Soprattutto quando vedi che ti permette di risolvere il primo esercizio della prima IMO della storia... son soddisfazioni
ecco perchè ti è rimasto impresso
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 22:57
da Zorro_93
gian92 ha scritto:
ecco perchè ti è rimasto impresso
Già. Visto che ne ho parlato lo riporto, anche se non aggiunge niente ai precedenti:
Dimostrare che la frazione $ $\frac{21n+4}{14n+3} $ non è semplificabile per alcun $ n\in \mathbb{N} $
Re: frazioni intere banali
Inviato: 04 mar 2010, 23:18
da gian92
Zorro_93 ha scritto:gian92 ha scritto:
ecco perchè ti è rimasto impresso
Già. Visto che ne ho parlato lo riporto, anche se non aggiunge niente ai precedenti:
Dimostrare che la frazione $ $\frac{21n+4}{14n+3} $ non è semplificabile per alcun $ n\in \mathbb{N} $
ehin effetti viene facile con questo metodo
$
MCD (21n+4,14n+3)=MCD(14n+3,7n+1)=MCD(7n+1,7n+2)=MCD(7n+1,1)=1 $
quindi i due numeri sono primi tra loro e la frazione non è semplificabile per ogni n.