OliForum Matematico

Questo problema viene dalla gara a squadre di Torino del pubblico del 2004.

In un cassetto sono mischiate insieme calze rosse e blu. Tirandone fuori due a caso, la probabilità che siano entrambe rosse è $ \displaystyle\frac{1}{2} $, mentre la probabilità che siano tutte e due blu è $ \displaystyle \frac{1}{12} $. Quante calze ci sono nel cassetto?

io ho provato a risolverlo ma le soluzioni che vengono fuori sono sbagliate...ma si avvicinano molto a quelle giuste credo...non so perchè siano sbagliate, magari se trovate l'errore...

allora, chiamiamo R il numero dialze rosse e B quello delle blu.

abbiamo che:

$ \frac{R}{R+B}\cdot \frac{R-1}{R+B-1}=\frac{1}{2} $
e
$ \frac{B}{R+B}\cdot \frac{B-1}{R+B-1}=\frac{1}{12} $
quindi sottraendo la seconda dalla prima abbiamo:
$ \frac{R^2-R-B^2+B}{R^2+2BR+B^2-R-B}=\frac{5}{12} $

$ 12R^2-12R-12B^2+12B=5R^2+10BR+5B^2-5B-5R $
e quindi
$ 7R^2-17B^2-10BR+17B-7R=0\\ 7R^2-(10B+7)R-17(B^2-B)=0 $
risolviamo in R
$ R=\frac{10B+7 \pm \sqrt{576B^2-336B+49}}{14}=\frac{10B+7\pm (24B-7)}{14} $
se prendiamo $ B=7 $ R sarà 17.
La soluzione dovrebbe essere quindi 24.

cosa sbaglio?
grazie mille!

ohi pure io ho avuto dei problemi con i calcoli... nella tua i procedimenti sono giusti però se vai a mettere i valori che hai trovato nella prima vedi che non torna...

io invece che per sottrazione avevo fatto per confronto e viene:

$ R* {(R-1)} = 6B* {(B-1)} $

ma pure qui poi c'era qualcosa di strano...

P.s. siete omaggiati del mio primo utilizzo di Latex

cromat ha scritto:ohi pure io ho avuto dei problemi con i calcoli... nella tua i procedimenti sono giusti però se vai a mettere i valori che hai trovato nella prima vedi che non torna...

io invece che per sottrazione avevo fatto per confronto e viene:

$ R* {(R-1)} = 6B* {(B-1)} $

ma pure qui poi c'era qualcosa di strano...

P.s. siete omaggiati del mio primo utilizzo di Latex

si infatti è per questo che da qualche parte ci deve essere l'errore..non torna...

A me veniva 24 calze di cui 17 rosse, ho letto la soluzione ufficiale ma non mi spiego comunque dove posso aver sbagliato :S

Sonner ha scritto:A me veniva 24 calze di cui 17 rosse, ho letto la soluzione ufficiale ma non mi spiego comunque dove posso aver sbagliato :S

esattamente la stessa cosa che viene a me...speriamo che qualcuno ci dice dove abbiamo sbagliato...

ma a me viene r=85 e b=35
è giusto?

comunque il tuo errore secondo me non sta in calcoli,ma nella logica,inftti quella che tu ricavi è una condizione necessaria ma non sufficiente.

è un po' come risolvere questo sistema

x+2y=0
x-y=0

sommiamo

2x+y=0

ora siccome per x=3 y=-6 l'ultima è soddisfatta allora 2,-6 è una soluzione del sistema che invece è falso
infatti 2x+y=0 è solo condizione necessaria,ma non è sufficiente
spero di non aver detto sciocchezze

trugruo ha scritto:comunque il tuo errore secondo me non sta in calcoli,ma nella logica,inftti quella che tu ricavi è una condizione necessaria ma non sufficiente.

è un po' come risolvere questo sistema

x+2y=0
x-y=0

sommiamo

2x+y=0

ora siccome per x=3 y=-6 l'ultima è soddisfatta allora 2,-6 è una soluzione del sistema che invece è falso
infatti 2x+y=0 è solo condizione necessaria,ma non è sufficiente
spero di non aver detto sciocchezze

hai ragione, grazie mille

tu per trovare la soluzione sei passato sempre per il sistema?

trugruo ha scritto:ma a me viene r=85 e b=35
è giusto?

Sì

hint: quanto vale la probabilità pescando due volte di prendere due palline di colore diverso?

sfruttando l'hint di trugruo abbiamo:

$ \frac{RB}{R^2+2RB+B^2-R-B}=\frac{5}{24}\\ 5R^2-(14B+5)R+5B^2-5B=0\\ R=\frac{14B+5\pm\sqrt{96B^2+240B+25}}{10} $
quindi dobbiamo vedere quando il determinante è un quadrato perfetto
$ 96B^2+240B+25=100B^2+100B+25-4B^2+140B=\\ =(10B+5)^2-4(B^2-35B) $

è evidente che quindi si tratta di un quadrato perfetto se $ -4(B^2-35B)=0 $ condizione soddisfatta per $ B=35 $
di conseguenza il determinante sarà $ 355^2 $ e quindi
$ R=\frac{14\cdot 35+5 \pm 355}{10}= 85 $
ricapitolando quindi:
$ R=85,B=35 $

oppure cosi
pongo
$ k=\left( r+b \right)\left( r+b-1 \right) $

poi sapevamo che

$ \frac{r\left( r-1 \right)}{k}=\frac{1}{2} $
e
$ \frac{b\left( b-1 \right)}{k}=\frac{1}{12} $

ma grazie all'hint abbiamo che
$ \frac{2rb}{k}=\frac{5}{12} $
da cui
$ k=\frac{24rb}{5} $
che sostituendo nel sistema iniziale ci fa ottenere il nuovo sistema :
$ 5(r-1)=12b $
e
$ 5(b-1)=2r $

che risolto ci dà la soluzione

bhe molto più semplice come hai fatto tu
però almeno è diventato anche un po di TDN

gian92 ha scritto:bhe molto più semplice come hai fatto tu
però almeno è diventato anche un po di TDN

eheh