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Sia S l'insieme dei punti nello spazio. Si fa una partizione di S in 3 sottoinsiemi, dimostra che uno di questi sottoinsiemi ha tutte le distanze.
(Si dice che un insieme di punti X ha tutte le distanze se per ogni valore reale K esistono due punti A e B tali che il segmento AB ha lunghezza K).

Ciao sono nuova nel forum!! Certo che qua siete tutti parecchio forti

Io ho provato a risolvere questo problema.

Raggionando per assurdo, suppenendo che nessuno dei sottoinsiemi $ S_1, S_2, S_3 $ contenga tutte le distanze scelgo $ d_1 \notin S_1, d_2 \notin S_2, d_3 \notin S_3 $.
A questo punto posso porre $ d_1 \geq d_2 \geq d_3 $.
Se esiste almeno un punto di ogni colore scelgo un punto $ $P_1$ $ colorato con $ $C_1$ $ e chiamo $ $\omega_1$ $ la sfera di raggio $ d_1 $. A questo punto la superficie sferica conterrà solo punti colorati con $ $C_2$ $ e $ $C_3$ $.
Se è colorata con solo un colore $ d_2 \in S_2 $ o $ d_3 \in S_3 $ poichè il diametro è uguale a $ 2d_1 $ esiste una corda di colore $ $C_2$ $ lunga $ d_2 $ o una di colore $ $C_3$ $ lunga $ d_3 $ per la disuguaglianza imposta.
Se invece è bicroma chiamo $ $\omega_2$ $ la sfera con centro un punto $ $P_2$ $ di colore $ $C_2$ $ sulla superficie di $ $\omega_1$ $ e di raggio $ d_2 $. Chiamo $ $\Gamma$ $ $ \omega_1 \cap \omega_2 $.

Il diametro di $ $\Gamma$ $ è maggiore di $ d_2 $.

Dimostrazione:
Chiamo $ $A$ $ e $ $B$ $ due punti di $ $\Gamma$ $ diametralmente opposti $ $\frac{\pi}{2}>\widehat{A P_2 P_1} \geq \frac{\pi}{3}$ $ poichè $ \overline {A P_2} \leq \overline {A P_1} $ e scrivendo il diametro di $ $\Gamma$ $ con la formula per la corda $ 2 \sin (\widehat{A P_2 P_1}) \overline {A P_2} > \overline {A P_2} =d_2 $.


Quindi esiste una corda lunga $ d_3 $ con punti di colore $ $C_3$ $

Assurdo.

Se nessun punto fosse colorato di uno dei tre colori allora prendo $ d_1 \geq d_2 $ e facciò una costruzione analoga a quello precedente, trovando un assurdo poichè $ $\Gamma$ $ deve avere punti colorati con $ $C_1$ $ o $ $C_2$ $.


Va bene??

Mi sembra che vada tutto bene. A parte "raggionando..."

Benvenuta sul forum!

non ci ho capito una mazza. (questo probabilmente pone a favore della tua dimostrazione)

in particolare non ho capito da dove sbuchino i colori, e che cosa significhino.

(ovviamente io sono uno dei non-forti)

I colori sono i sottoinsiemi. Immagina di colorare un punto a seconda del sottoinsieme che lo contiene: tutto lo spazio sarà colorato con tre colori.

ah, capito.
buona dimostrazione, non ci sarei mai arrivato.

Stavo pensando che partendo dalla mia dimostrazione si potrebbe indurre sul numero di dimensioni dello spazio, considerando che l'intersezione di due $ $n$ $sfere è una $ $(n-1)$ $sfera, e visto che il diametro dell'una si mantiene maggiore del raggio dell'altra poichè la disuguaglianza resta invariata (facile da pensare prendendo sempre un piano comune ai due centri e a due punti diametralmente opposti).
Quindi:

Sia $ $S$ $ l'insieme dei punti in uno spazio a $ $n$ $ dimensioni. Si fa una partizione di $ $S$ $ in $ $n$ $ sottoinsiemi, uno di questi sottoinsiemi ha tutte le distanze.

Sto forse delirando??

Complementi Jessica e benvenuta al forum (neanche è che io sia nel forum da tanto tempo), non era per niente banale questo problema, la mia soluzione è fondamentalmente la stessa. Hai ragione, induttivamente (e formalizzando alcune cose, poiché dopo 3 dimensioni il concetto di distanza non è più una cosa così “intuitiva”) si può generalizzare per uno spazio n-dimensionale.