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Per ogni $ \displaystyle n \in \mathbb{N} $ e per ogni $ \displaystyle x \in [0,1] $, sia $ \displaystyle T_n(x) = cos(n \cdot cos^{-1}(x)) $. Dimostrare che le funzioni $ \displaystyle T_n $ sono tutte polinomi.




Stima della difficoltà: Cesenatico facile o SNS facile. Che i campioni non ci si avventino subito...

scusa forse (probabilmente) non ho capito...
per $ cos^-1(x) $ intendiamo l'inversa di $ cos(x) $ quindi $ arccos(x) $
ma se prendiamo n=1 abbiamo che $ T_n(x)=cos(arccos(x)) $ ma quindi ci verrà il coseno di un angolo che essendo trascendente non può essere una funzione polinomiale

E invece è proprio un polinomio! Strano ma vero... Comunque questi strani coseni e arcocoseni sono già stati visti qui. Attenzione: nel link è presente una soluzione, non leggere fino in fondo se si vuole affrontare il problema!

quindi ci verrà il coseno di un angolo che essendo trascendente non può essere una funzione polinomiale

Ti faccio notare il tuo errore perché in questo caso è veramente "basilare". Tu stesso hai detto che l'arcocoseno è l'inversa del coseno. Be', ma allora $ T_1(x)=\cos(\arccos(x)) = x $ per definizione di funzione inversa, e direi che è una funzione molto polinomiale!

Io direi che in $ [0,1] $ vale che $ cos(arccos(x)) = x $ e la funzione $ f(x) = x $ è un polinomio.

gian92 ha scritto:ci verrà il coseno di un angolo che essendo trascendente non può essere una funzione polinomiale

Che cosa vuol dire questa frase?

Pigkappa ha scritto:Io direi che in $ [0,1] $ vale che $ cos(arccos(x)) = x $ e la funzione $ f(x) = x $ è un polinomio.

gian92 ha scritto:ci verrà il coseno di un angolo che essendo trascendente non può essere una funzione polinomiale

Che cosa vuol dire questa frase?

rileggendola adesso, niente.

Ani-sama ha scritto:E invece è proprio un polinomio! Strano ma vero... Comunque questi strani coseni e arcocoseni sono già stati visti qui. Attenzione: nel link è presente una soluzione, non leggere fino in fondo se si vuole affrontare il problema!

quindi ci verrà il coseno di un angolo che essendo trascendente non può essere una funzione polinomiale

Ti faccio notare il tuo errore perché in questo caso è veramente "basilare". Tu stesso hai detto che l'arcocoseno è l'inversa del coseno. Be', ma allora $ T_1(x)=\cos(\arccos(x)) = x $ per definizione di funzione inversa, e direi che è una funzione molto polinomiale!

hai ragione, troppo tardi per affrontare problemi

Pigkappa ha scritto:Stima della difficoltà: Cesenatico facile

Assolutamente cannata, come stima.
A Cesenatico è proibito presentare problemi con funzioni trigonometriche.
Al massimo può essere un PreIMO facile.

Sul discorso del polinomio/non polinomio, credo che molti degli equivoci scaturiscano dal fatto che Pigkappa sembra non fare alcuna distinzione tra polinomio e funzione polinomiale.

Basta mostrare che cos(ny) e sen(ny) è un'espressione polinomiale in cos(y) la prima e del tipo sen(y)X(polinomio in cos(y)) la seconda. Per n=1, 2 segue dalle formule trigonometriche, segue per induzione.
Quindi il gioco è fatto essendo cos(arcos(x))=x, con y= arcos(x) .

Chi è che si fa un pò di conti e trova una formula ricorsiva elegante?!?
Nessun liceale ha voglia di cimentarsi in un pò di trigonometria e induzione?!? Dai su!

Pig, questo problema viene fuori forse da un corso di analisi numerica?

Direi che i $ T_n(x) $ sono molto particolari

Zok ha scritto:Chi è che si fa un pò di conti e trova una formula ricorsiva elegante?!?
Nessun liceale ha voglia di cimentarsi in un pò di trigonometria e induzione?!? Dai su!

Aggiungerei anche che questo è un buon esercizio per usare i numeri complessi.