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Dato un quadrilatero $ $ABCD $. Trovare il luogo dei punti tali che le loro proiezioni su $ $AB,BC,CD,DA $ formino un quadrilatero con le diagonali perpendicolari.

(Sharygin contest; problema 2)

Bonus: e se le diagonali al posto di essere perpendicolari formassero un angolo $ $\alpha $ fissato?

p.s. problema che mi ha fatto dannare, non perchè sia impossibile ma perchè sono una pippa xD Per risolverlo ho impiegato 2 giorni e passa; era il POTD del 6/3/2010

Chiamiamo gli angoli orientati che formano AB,BC,CD,DA con una retta a caso (chiamiamola 'Inutile') rispettivamente a,b,c,d. Poniamo che AB e CD si intersechino in X e BC, DA in Y. Prendiamo le rette r e s che passano per X e Y rispett. e formano con 'Inutile' angoli di (a+x) e (b+y). Sia P il punto d'intersezione fra r e s.
E immediato vedere che gli angoli, formati insieme a 'Inutile', delle diagonali dei quadrilateri pedali sono: $ d+\frac{\pi}{2}-x $ e $ c+\frac{\pi}{2}-y $.
Allora l'angolo che formano fra esse è: $ c-d+x-y=k $.
L'angolo fra r e s è: $ a-b+x-y=k+a-b-c+d=z $.
Allora i punti cercati sono tutti e soli quelli della circonferenza passante per X e Y, di tutti e soli i punti che formano l'angolo orientato z con essi. Questo, se ti piace di più intendere per diagonali i segmenti che congiungono proiezioni su lati opposti. In caso contrario, si aggiusta facilmente (escono alcuni archi di circonferenze unite fra loro).

problema che mi ha fatto dannare, non perchè sia impossibile ma perchè sono una pippa xD Per risolverlo ho impiegato 2 giorni e passa

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non ti preoccupare, ci farai l'abitudine, ma ecco una buona notizia: andrai sempre più migliorando.
Io ad esempio una volta sono stato per ben sei mesi (!) su una shortlist 2003, decidendo alla fine che non era pane per i miei denti (chi la dura la vince...nel 99% dei casi). Un anno e mezzo dopo l'ho scovato fra i miei vecchi appunti e l'ho risolto in poco meno di mezz'oretta.
P.S e per il tuo 10min

Ammetto che non mi sono messo a controllare se gli angoli tra le varie rette siano giusti, in alcuni punti c'è un alone di mistero xD, ma l'idea è quella giusta e la soluzione pure (tra l'altro è, seppur espressa in maniera differente, uguale alla mia).
Mi viene spontaneo chiedere quale sia lo shortlist del 2003 che ti ha fatto dannare... sono curioso.

Uhm, un esercizio presente in un plico (non proposto!!) di fogli ricevuto a Pavia (Stage Junior).........eccolo.
Ups! era un (Shortlist IMO,97).
Apro un nuovo topic.