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Trovare tutte le coppie di interi positivi m,n tali che il loro prodotto divide sia $ 3^m+1 $ che $ 3^n+1 $.

jordan ha scritto:Trovare tutte le coppie di interi positivi m,n tali che il loro prodotto divide sia $ 3^m+1 $ che $ 3^n+1 $.

$ mn|3^m+1 $
$ mn|3^n+1 $

Osservo che ne m ne n può essere divisibile per 3 perchè $ 3^k+1 $ non è divisibile per 3

Pongo WLOG $ m \geqslant n $ e deve succedere che $ mn|3^m-3^n $

Però allora, perchè questo numero non sia divisibile per 3, ho due opzioni:

A) n=0 --> impossibile poi verificare l'ipotesi
B) n=m, lo sostituisco ed ho che

$ m^2|3^m+1 $
Osservo che m dev'essere pari oppure 1, per parità dei due termini. Però se è pari allora
$ 3^m+1 \equiv 2 (mod4) $ ma i residui quadratici di mod 4 sono solo 0 e 1, ed è quindi impossibile.

L'unica soluzione accettabile è quindi m=n=1 che effettivamente verifica l'ipotesi.

E' corretto?

L'unica soluzione accettabile è quindi m=n=1 che effettivamente verifica l'ipotesi.

a prima occhiata direi che anche (1,2) va bene

Dani92 ha scritto: Però allora, perchè questo numero non sia divisibile per 3, ho due opzioni:

Perchè non puo' essere divisibile per 3?

Si ho detto una cagata gigantesca...

Probabilmente non ci azzecca assolutamente niente con il problema, ma tirando a caso combinazioni a scuola mi sono chiesto: questi passaggi sono validi?



$ m^2n^2 | 3^2m+2*3^m+1 $

$ m^2n^2 -mn | 3^2m+3^m $

$ mn(mn-1) | 3^m(3^m+1) $

$ (mn-1) | 3^m $


Probabilmente no, in ogni caso potreste sempre insegnarmi come mettere il (2m) tutto all'esponente...

x^{2m}
$ x^{2m} $
in ogni caso 25|2500 e 5|50 ma 20 non divide 2450...

gismondo ha scritto:x^{2m}
$ x^{2m} $
in ogni caso 25|2500 e 5|50 ma 20 non divide 2450...

Ecco...lo sapevo che sparavo una *******

Almeno ho imparato a mettere gli esponenti...grazie ^^

m e n non possono essere entrambi pari. Se così fosse, $ \displaystyle~4\mid mn\mid 3^m+1 $, ma $ \displaystyle~3^m+1\equiv (-1)^m+1\equiv 2\pmod 4 $. Dunque posto $ \displaystyle~x=(m,n) $ abbiamo x dispari.
Dall'ipotesi $ \displaystyle~mn\mid 3^m+1\mid 9^m-1 $ e $ \displaystyle~mn\mid 3^n+1\mid 9^n-1 $. Toh, proprio 10 mesi fa era capitato sul forum un lemma che ci permette di dire che $ \displaystyle~mn\mid 9^x-1 $, da cui otteniamo l'ipotesi più debole $ \displaystyle~x^2\mid 9^x-1 $.
Supponiamo $ \displaystyle~x>1 $ e sia $ \displaystyle~x=p_1^{e_1}\cdots p_u^{e_u} $ la fattorizzazione di x con $ \displaystyle~p_i<p_j~\forall i<j $.
Deve valere $ \displaystyle~p_1^{2e_1}\mid 9^{p_1^{e_1}\cdots p_u^{e_u}}-1~(*) $, in particolare $ \displaystyle~p_1\mid 9^{p_1^{e_1}\cdots p_u^{e_u}}-1 $ o applicando ripetutamente il piccolo teorema di Fermà $ \displaystyle~p_1\mid 9^{p_2^{e_2}\cdots p_u^{e_u}}-1 $
Dunque possiamo applicare quest'altro lemma che insieme alla $ \displaystyle~(*) $ dà
$ \displaystyle~\upsilon_{p_1}((9^{p_2^{e_2}\cdots p_u^{e_u}})^{p_1^{e_1}}-1)=\upsilon_{p_1}(9^{p_2^{e_2}\cdots p_u^{e_u}}-1)+\upsilon_{p_1}(p_1^{e_1})\ge 2e_1 $ cioè $ \displaystyle~\upsilon_{p_1}(9^{p_2^{e_2}\cdots p_u^{e_u}}-1)\ge e_1 $.
Da $ \displaystyle~9^{p_2^{e_2}\cdots p_u^{e_u}}\equiv 1\pmod {p_1^{e_1}} $ abbiamo $ \displaystyle~ord_{p_1^{e_1}}(9)\mid (p_2^{e_2}\cdots p_u^{e_u},p_1^{e_1-1}(p_1-1))=(p_2^{e_2}\cdots p_u^{e_u},p_1-1)=1 $, infatti $ \displaystyle~p_1-1<p_i~\forall i $ quindi $ \displaystyle~p_1-1 $ non è divisibile per nessun $ \displaystyle~p_i $. Per cui $ \displaystyle~p_1^{e_1}\mid 9-1=8 $, assurdo.
Segue che $ \displaystyle~x=1 $, cioè $ \displaystyle~mn\mid 9-1=8 $, quindi (1,1), (1,2) e (2,1) sono le uniche soluzioni.

Perfetto
Oramai almeno quei due lemmi dovrebbero essere dati per noti