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4. Una giuria formata da 9 persone deve esprimere un verdetto di colpe-
volezza o innocenza. Supponendo che non siano ammesse astensioni e
che ciascun giurato voti indipendentemente e con probabilità 1/2 per
ciascuna delle due decisioni, si dica qual è la probabilità che al termine
della votazione un determinato giurato faccia parte della maggioranza.
Nel caso di una giuria composta da n persone, si dica per quali valori di
n la probabilità di far parte della maggioranza è maggiore di 1/2, uguale
a 1/2, minore di 1/2. (Nel caso in cui n = 2k sia pari, si intende che
un giurato appartiene alla maggioranza se la sua posizione ha ottenuto
almeno k + 1 voti.)



Io l'ho risolto è ho ottenuto p=1/2; e n=9 per p=1/2, n>9 per p>1/2 e n<9 per p<1/2.però non so se è giusto non avendo trovato i risultati; se serve posto la mia soluzione.

non sono riuscito a capire bene quanto ti sia venuto.

Io l'ho svolto così.
a) giuria di 9 persone.
prendiamo un giurato (alberto) a nostra scelta e facciamolo votare. ora dei restanti 8 giurati affinchè alberto si trovi nella maggioranza almeno 4 giurati devono votare come lui (i casi che lui voti per la colpevolezza o innocenza sono uguali) e. quindi tale probabilità è uguale a:
$ \binom{8}{4} + \binom {8}{5} +\binom{8}{6} + \binom {8}{7} + \binom{8}{8} $ tutto diviso $ 2^n $
andando a svolgere: $ \frac {90 + 56 + 28 + 8 + 1}{256} = \frac {183}{256} $
b) giuria di N persone, ponendo N=x+1. A questo punto divido in due casi: N pari, N dispari

b1) N=2k pari, X è dispari. Prendo sempre il povero alberto che dopo aver votato per trovarsi nella maggioranza deve sperare che altri K giurati (su 2K-1) votino come lui.
per la proprietà dei binomiali $ \binom {m}{h}= \binom {m}{m-h} $ ho che $ \binom{x}{x} +.... + \binom {x}{k + 1} +\binom{x}{k} = \binom {x}{0} +.... + \binom{x}{k-2} + \binom {x}{k-1} $
ma queste due non sono altro che le combinazioni per cui alberto si trovi nella maggiorana; e quelle per cui alberto si trovi fuori dalla maggioranza.
Da cui: 2P(maggioranza)=1

b2) N=2k +1, X è pari. Alberto (ormai stremato dalle votazioni ) deve, per stare nella maggioranza, sperare che almeno k (sui 2k rimanenti) giurati votino come lui. Qui possiamo usare lo stesso procedimento che abbiamo usato per N pari, ma poiche X=2k è pari $ \binom{2k}{k} $ lo conto due volte. quindi dire che la probabilità che alberto si trovi nella maggioranza è $ \frac {2^n + \binom {n}{\frac {n}2}}{2^{n + 1}} $(3)
considerando che $ \binom {n}{\frac{n}2} > 1 $ la (3) sarà sempre maggiore di $ \frac {1}2 $

Giusta?

P.s. non ho fatto tutti i passaggi algebrici per non riscrivere tutte quelle formule in latex

mmm... come soluzione è interessante e dopo aver postato la mia mi metto in maniera più dettaglaita a vedere se ci sono errori (che con una lettura veloce non ho visto) perchè o io o te s'è sbagliato. (visto le soluzioni diverse ) io ho agito così:

la prima cosa che ho pensato è che una maggioranza si forma sempre. la maggioranza si può formare con 9 e 0, con 8 e 1, con 7 e 2 ..... con 0 e 9. Quindi faccio

$ \displysyle \sum_{i=0}^{9} \binom{9}{i}\cdot\frac{1}{2}^{10} $ dove $ \frac {1}{2}^{10} $ viene da $ p^i \cdot q^{9-i} $ che moltiplica ogni binomiale ma essendo $ p=q $ ho raccolto tutto. e da qui mi viene 1/2.
per quanto riguarda il secondo quesito ho semplicemtne fattto lo stesso procedimento con numeri maggiori di nove e ho visto che il risultato veniva maggiore, e con numeri minori di nove il risultato veniva minore.

prova qualche caso in più e vedi che non vale la tua...
per esempio con due giurati ho:
-P(tutte e due stessa decisione)= 2*1/4=1/2
-P(decisioni diverse)=1/2
un giurato si trova in maggioranza se si trova nel primo gruppo:ergo 1/2 e non minore

azz... giusto .. mi ero limitato ai casi 8 e 10 ... per quanto riguarda il punto a) ?

cromat ha scritto: ...
andando a svolgere: $ $\frac {90 + 56 + 28 + 8 + 1}{256} = \frac {183}{256}$ $
...

A me viene 163 al posto di 183...

Ho svolto i conti anche io è viene 163......va corretto

ngshya ha scritto:

cromat ha scritto: ...
andando a svolgere: $ $\frac {90 + 56 + 28 + 8 + 1}{256} = \frac {183}{256}$ $
...

A me viene 163 al posto di 183...

90 + 56 = 146
146+28=174
174+8=182
182+1=183

L'errore sta nella prima combinazione:$ \binom {8}{4} $che deve risultare 70 invece che 90

cromat ha scritto:b2) N=2k +1, X è pari. Alberto (ormai stremato dalle votazioni ) deve, per stare nella maggioranza, sperare che almeno k (sui 2k rimanenti) giurati votino come lui. Qui possiamo usare lo stesso procedimento che abbiamo usato per N pari, ma poiche X=2k è pari $ \binom{2k}{k} $ lo conto due volte. quindi dire che la probabilità che alberto si trovi nella maggioranza è $ \frac {2^n + \binom {n}{\frac {n}2}}{2^{n + 1}} $(3)
considerando che $ \binom {n}{\frac{n}2} > 1 $ la (3) sarà sempre maggiore di $ \frac {1}2 $

Non capisco bene questa parte...
E vorrei capirla perchè sto cercando di risolvere/raccogliere le soluzioni dei quesiti di quell'anno in modo da farne un unico pdf...