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Sia ABC un triangolo, siano P,Q,R punti tali che i triangoli ABP, BCQ, CAR sono tutti equilateri (costruiti al sterno di ABC). Siano D, E, F i punti medi di QR, RP, PQ rispettivamente. Dimostra che le perpendicolari alle rette AB, BC, CA per i punti D,E,F rispettivamente sono concorrenti.

Si risolve facilmente da questo fatto.
Prendiamo ABC e XYZ e un punto P.
Supponiamo che
AP sia perpendicolare a YZ
BP sia perpendicolare a ZX
CP sia perpendicolare a XY.
Allora esiste un punto Q tale che:
XQ sia perpendicolare a BC
YQ sia perpendicolare a CA
ZQ sia perpendicolare a AB.

Provate a dimostrare usando il fatto: è istruttivo.
Se volete dimostrare il fatto, ecco un hint:
usare ceva trigonometrico.

Bene! la mia soluzione è senza utilizare quel fato, ma adesso ho visto che l'idea è sempre la stessa (con una piccola variante), allora non la scrivo per chi vuole provare dimostrare sia il fato sia il problema.

Con una idea ho visto che questo problema si può generalizzare tanto, qua piazzo un problema che ho inventato adesso utilizzando la generalizzazione e altre piccole idee. Espero non lo trovate troppo bruto .

Sia ABC un triangolo, P,Q, R tali che AP=8, PB=9, BQ=40, QC=41, RC=17, RA=15. Siano D,E,F i punti di tangenza del incerchio del triangolo PQR con RQ, RP, PQ rispettivamente, siano X,Y,Z i piedi di altezza (nel triangolo EDF) da D,E,F rispettivamente. Dimostrare che le perpendicolari a AB, BC, CA per X,Y,Z rispettivamente, sono concorrenti.

Come prima, ti riduci a dimostrare che concorrono le perpendicolari da P,Q,R a BC,CA,AB o la terna equivalente.

E comunque a me sembra falso... a meno che tu non intenda A, Q, R allineati eccetera...

In fati, P, Q, R non per forza devono stare sui lati del triangolo, sempre è come costruire triangoli sui lati del triangolo ABC.

[bovino] si risolve anche sul piano cartesiano se non ho sbagliato...[/bovino]

Forse si, comunque c'è una soluzione con geometria sintetica più o meno veloce.