OliForum Matematico

Trovare tutte le soluzioni intere di
$ x^2 - y^2 = 2xyz $.
Oltre alle soluzioni banali (a, a, 0) e (0, 0, a) non sono riuscito a cavarci molto... per di più il libro non dà la soluzione. Se poteste aiutarmi ve ne sarei grato!

Suggerimento probabilmente stupido...

Portare tutto a sinistra e porre il discriminante dell'equazione in x uguale a 0?

Che scemo che sono!! Ahahah!! Verissimo! (non 0, ma un quadrato perfetto) Grazie Francutio Non so come abbia fatto a non arrivarci

Si chissà perchè ho detto uguale a 0...perchè son un pirla ecco

Uhm... propongo un'altra soluzione.
Idea -1) Caso in cui tra x,y,z c'è uno 0... si risolve facilmente e si trovano le soluzioni.
Idea 0) Per x,y,z diversi da 0 la tesi equivale a trovare x,y per cui
$ $2xy|x^2-y^2 $
Idea 1) Coprimalità forzata.
Assumo x,y non siano coprimi e soddisfino. L'mcd è m... risulta che anche x/m;y/m soddisfa. Quindi d'ora in poi assumo siano coprimi, tutte le altre coppie si ottengono moltiplicando per una costante.
Idea 2) Trovare un facile assurdo
Se x,y soddisfano allora deve valere:
$ $x|x^2-y^2\Rightarrow x|y^2 $
Ma x,y sono coprimi, quindi deve valere x=1. Stesso ragionamento con y e si ottiene la soluzione (x,y)=1 da cui deriva la sfilza di soluzioni x=y con z=0 che avevamo gia visto in Idea -1).

svolgendo viene il delta uguale a: $ z^2+1 $ due casi:
- z=0 -> terne (a,a,0) e (a,-a,0)
- z diverso da zero e intero. -> in questo caso per nessun valore di z vale la relazione perchè $ z^2 < z^2 +1 <{(z+1)}^2 $ con z positivo; e negativo il contrario

giusto?

Salve a tutti,mi sono appena iscritto al forum anche se seguo da un pò le varie discussioni.Innanzitutto volevo fare i complimenti al forum che è davvero interessante e poi volevo fare la mia prima proposta(spero di una lunga seria ) di risoluzione.

ho pensato si potrebbe semplicemente risolvere l'equazione,dopo aver portato tutto a sinistra,rispetto alla x ...mi esce
x=yz(1+o-radice di 2),quindi affinchè x sia intero è necessario che y=0 o z=0 o entrambi=0[/tex][/list]

$ (xy^{-1}-z)^2=z^2+1 $ assurdo in $ \mathbb{Z}^3 $ a meno che $ z=0 $.[]