OliForum Matematico

Il Congresso di Mathlandia ha riunito 2000 congressisti che appartengono a due categorie di persone: i bugiardi che mentono sempre e i leali che dicono sempre la verità. Ogni congressista si occupa di Algebra o di Geometria o di Probabilità e nessuno ha più di una specializzazione.
Si chiede in successione ad ogni congressista:“ Lei è un algebrista? Lei si occupa di Geometria? Lei è un probabilista?”
Il numero dei “sì” per ognuna delle tre domande è rispettivamente 100; 540; 1610.
Quanti bugiardi ci sono al Congresso?


è un problema delle semifinali dei giochi della bocconi..ma nn sono riuscito a risolverlo, potete aiutarmi??grazie!

Può essere 250?
Se fossero stati tutti sinceri ci sarebbero dovuti essere 2000 "sì". (uno per ogni persona).
Ma il totale dei "sì" è 2250, quindi ci sono 250 "sì" di troppo.
Considerando che se io mento dico due "sì" e un "no", ogni mentitore dice un "sì" di troppo.
Ergo, 250 mentitori.

Comunque aspetta i pareri degli altri, i miei non sono troppo attendibili!

Clara è leale!

Domanda bonus: il problema non chiede di mostrare che questa configurazione di risposte è veramente possibile (in caso contrario, si scoprirebbe che chi ha proposto il problema è un bugiardo!). In generale, tutte le configurazioni di risposte in cui la somma dei sì va da 2000 a 4000 sono possibili?

Il Problema ha molte soluzioni:

Sia A', A" i l numero di algebristi sinceri e bugiardi rispettivamente.
Analogamente si ha G' e G" per i geometri e P' e P" per i probabilisti.

Si hanno le equazioni:
A'+G"+P"=100 ; G'+ A"+P"=540 ; P'+A"+G"=1610 ; A'+A"+G'+G"+P'+P"=2000 .

da cui

A'=100-G"-P" ; A"= 540- G'-P" ; P'+(540- G'-P")+G"=1610 cioè P'+G"=G'+P"+1070 ;
e dall'ultima di sopra:

(100-G"-P")+( 540- G'-P")"+G'+G"+P'+P"=2000 cioè P'-P"= 1360.


che comparata con la penultima da G'-G"= 290


Dalle ultime due relazioni (che valgono per svariati valori interi positivi di G', G", P', P") si risale a valori di A' e A" che verificano i vincoli imposti.