OliForum Matematico

Alcune palline sono distribuite in $ 2n+1 $ sacchetti.
Supponiamo che, tolto un qualunque sacchetto, sia possibile suddividere i rimanenti in due gruppi in modo che ciascun gruppo contenga lo stesso numero complessivo di palline.

Dimostrare che i sacchetti contengono tutti lo stesso numero di palline.

Buon lavoro!!

Io ho provato a farlo così:

Chiamo $ S $ la somma delle palline di tutti i sacchetti. Se tolgo il numero delle palline di uno qualunque dei sacchetti devo ottenere un numero pari, quindi o tutti i sacchetti contengono un numero pari di palline (e quindi $ S $ è pari) o tutti un numero dispari (e quindi $ S $ è dispari).
Se contengono un numero dispari:
chiamo $ 2a_1+1,2a_2+1,\cdots,2a_{2n+1}+1 $ le quantità di palline del 1°, del 2° ,...,del (2n+1)° sacchetto. A questo punto il problema è equivalente con i numeri $ a_1,a_2,\cdots,a_{2n+1} $
se contengono un numero pari:
faccio la stessa cosa senza i $ +1 $.

Il problema si riconduce sempre a casi con numeri strettamente minori e quindi la sequenza di numeri di palline finirà con 0,0,0,...,0 (per 2n+1 volte) da qui si deduce che anche i numeri iniziali erano uguali.



Giusto?

EDIT:era scritto da cani, ora dovrebbe essere più comprensibile

Ho visto il thread, ma non ho trovato una soluzione simile alla mia... ho sbagliato qualcosa?

In quel thread non c'è una soluzione completa del problema, mi pare di vedere.
Ci sono io che accenno al fatto che si possa risolvere con discesa infinita sul numero totale di palline, e qualcuno che propone un tentativo fallimentare di usare l'induzione sul numero di sacchetti.

La tua idea è quella giusta, ma credo che a una commissione un po' puntigliosa verrebbe voglia di toglierti un punto sull'ultima frase, dove dici che la sequenza finisce con tutti zeri, e quindi i numeri erano uguali fin dall'inizio. Si può per esempio esplicitare questo fatto considerando le espressioni binarie delle quantità di palline per ogni sacchetto. Al primo passaggio dimostri che la cifra finale di ogni sacchetto è la stessa (stessa parità), al secondo passaggio dimostri che la penultima cifra è la stessa ("dimezzando" e ragionando ancora sulla parità), etc.

Tibor Gallai ha scritto:La tua idea è quella giusta, ma credo che a una commissione un po' puntigliosa verrebbe voglia di toglierti un punto sull'ultima frase, dove dici che la sequenza finisce con tutti zeri, e quindi i numeri erano uguali fin dall'inizio.

Si poteva anche far notare che esiste una corrispondenza biunivoca che lega una (2n+1)-upla con quella che si ottiene eseguendo quelle operazioni?

Se capisco la domanda, la risposta è no. Ma credo di non capirla!!

Tibor Gallai ha scritto:Se capisco la domanda, la risposta è no. Ma credo di non capirla!!

mi spiego meglio:

abbiamo una corrispondenza biunivoca tra i numeri $ 2a_i+1 $ e i numeri $ 2a_i $, e anche tra i numeri del tipo $ 2a_i $ e quelli del tipo $ a_i $. Quindi trasformando le (2n+1)-uple con queste operazioni l'uguaglianza o la diseguaglianza (non nel senso maggiore o minore, solo nel senso di diverso) di due termini qualunque rimane invariata.

In effetti l'errore stava nel parlare di corrispondenze tra "n+1-uple

Sì, è un modo diverso di dire la stessa cosa.
L'importante è che si giustifichi perché avere tutti zeri alla fine implica avere tutti numeri uguali all'inizio.