OliForum Matematico

Vi posto questo problema molto carino, in partenza era un problema di matematica non elementare, credo funzioni anche così:

Ho n rette nel piano, non vi è nemmeno una coppia di rette parallele. Più di due rette possono incontrarsi in un'intersezione.
è possibile trovare una configurazione tale che 20 rette abbiano 54 intersezioni??

Boh, la soluzione che mi viene in mente è un po' brutale. Per curiosità, qual è la versione del problema da cui eri partito? Magari così mi viene in mente la soluzione carina.

Semplicemente trovare la configurazione con 54 intersezioni di 20 rette proiettive.
In generale trovare tutte le coppie (intersezioni,rette) per cui esiste una configurazione sul piano proiettivo reale. Questo problema completo credo sia molto più difficile e non olimpico, quel caso che ho postato invece poteva essere anche un buon esercizio per le oli..

Quindi c'è una soluzione carina che sfrutta il fatto che i numeri sono proprio 54 e 20? In quella che ho trovato io non è fondamentale, molte altre coppie vanno bene.

Premesso che il problema l'ho preso da una tesi di laurea di un mio amico che per non ho capito cosa sta cercando di capire per quali coppie esiste una configurazione.

Escludendo rette parallele, che comunque si possono vedere come un caso limite, traccio n rette che avranno n binomiale 2 intersezioni ( scusate se non uso il latek).
Ho osservato poi, che a meno di casi particolare, costruiti prima, se traslo una retta, posso far si di passare da (k,n) a (k-2, n). Se tre rette formano un triangolo basta ridurr questo triangolo fino ad un punto e le intersezioni passano da 3 a 1, senza influire, a meno di casi particolarissimi, sulle altre intersezioni
Con (54,20): si parte da (190,20) ed eliminando i triangoli uno ad uno si arriva al risultato, però è difficile da raffigurare ( potrei anche dire cavolate).
Un metodo era partire da altre configurazioni per ottenerne altre aggiungendo una retta, in questo caso (54,20) mi dicono essere un caso difficile.


ps: la tesi è davvero di un amico ( non mia), non posterei mai qui se no

Uhm, non mi convince molto. Chiamiamo punto triplo un punto di intersezioni di 3 rette o più.

Muovendo una retta puoi all'inizio diminuire di 2 i punti di intersezione. Ma metti che tu hai già fatto questo giochino di spostare una retta r due volte: allora su r ci sono almeno 2 punti tripli. Adesso non puoi più muovere r, senza introdurre altre intersezioni.

Se parti da 190 intersezioni e 20 rette, il tuo metodo si applica al massimo 40 volte (ma in realtà meno). In questo modo, bene che vada, riesci a ridurre le intersezioni a 110, ma non a 54.

D'altra parte nella dimostrazione che avevo in mente io assumevo inconsciamente, chissà perché, che ogni retta avesse al massimo un punto triplo. Infatti sotto questa ipotesi dimostravo che non è possibile. (By the way, in questa situazione più ristretta è comunque possibile ottenere (53, 20). Mannaggia...)

....io non vorrei dire cavolate eh, ci sarà un motivo se non posto mai nelle sezioni problemi...

ma sul mio banco a scuola mi sembrava di aver escluso la possibilità di una tale configurazione....

Riuscivo con 53 nodi o 55...ma con 54 nisba....

verifico, e nel caso scrivo xD