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Siano a,b due reali fissati tali che 0<a<b. Mostrare che allora esistono due primi p,q tali che ap<q<bp.

Up!

Il problema mi pare interessante, e a occhio non mi pareva neanche troppo complicato, però non riesco a risolverlo.

Hint?

non è veramente una soluzione, la metto in spoler.. mi chiedevo se questo tipo di ragionamento ha una base o è soltanto campato in aria (e propendo più per la seconda versione )

ant.py ha scritto:non è veramente una soluzione, la metto in spoler.. mi chiedevo se questo tipo di ragionamento ha una base o è soltanto campato in aria (e propendo più per la seconda versione )

Testo nascosto:

allora la differenza fra $ bp $ e $ ap $ è $ p(b-a) $. Quindi l'intervallo in cui cercare $ q $ ha ampiezza $ p(b-a) $. Essendoci infiniti primi, in un'intervallo sufficientemente grande troveremo sicuramente un primo, ovvero il nostro $ q $; il fatto è che effettivamente $ p(b-a) $, dato che i primi sono infiniti e quindi si può scegliere $ p $ grande a piacere, è sicuramente sufficientemente grande (dato che $b-a \not= 0$) per trovare il nostro $ q $

E' la stessa cosa che ho pensato anch'io, per questo dicevo che intuitivamente mi sembrava un problema fattibile, però non riesco a formalizzare la dimostrazione

Il problema è che, come saprai, esistono intervalli grandi a piacere composti da numeri NON primi

Mentre risolvevo un problema mi sono accorto che la soluzione andava bene se fossi riuscito a dimostrare che per ogni primo q e primo p tale che $p<q<2p$. Ho iniziato considerando il prodotto $p(p+1)(p+2)\cdot\cdot\cdot 2p$ e sto cercando un assurdo dimostrando che non esiste nessun primo $q>p$ tale da dividere quel prodotto. Inoltre ho notato che $(p+1)!$ lo divide, perciò ogni $q<p$ è un divisore di $\frac{(2p)!}{(p-1)!}$. Vi sembra una strada buona? Se si come potrei continuare? E soprattutto si fa elementarmente?

matty96 ha scritto:Mentre risolvevo un problema mi sono accorto che la soluzione andava bene se fossi riuscito a dimostrare che per ogni primo q e primo p tale che $p<q<2p$. Ho iniziato considerando il prodotto $p(p+1)(p+2)\cdot\cdot\cdot 2p$ e sto cercando un assurdo dimostrando che non esiste nessun primo $q>p$ tale da dividere quel prodotto. Inoltre ho notato che $(p+1)!$ lo divide, perciò ogni $q<p$ è un divisore di $\frac{(2p)!}{(p-1)!}$. Vi sembra una strada buona? Se si come potrei continuare? E soprattutto si fa elementarmente?

Suppongo che volessi scrivere che per ogni primo $p$ esiste un primo $q$ tale che $p<q<2p$.
Questo è anche detto (perdendo l'ipotesi $p$ primo) postulato di Bertrand... è vero ma difficile da dimostrare.
In ogni caso, pur dandolo per vero... non vedo come ne possa seguire la tesi del problema

La soluzione non mi serviva per questo problema, ma per un altro.Sapevo che si trattava del postulato di bertrand ma quello è per un n generico, quindi pensavo che per p primo fosse più semplice...peccato ci speravo