OliForum Matematico

trovare tutte le soluzioni dell\'equazione:
<BR>
<BR>p^x - y^p = 1
<BR>
<BR>con x, y interi positivi e p primo.

beh così su due piedi senza buttare giù niente
<BR>
<BR>3^2 - 2^3 = 1
<BR>
<BR>cmq adesso mi ci metto.....[addsig]

le uniche potenze la cui differenza è 1 sono 3^2 e 2^3.
<BR>non mi ricordo come si chiamava il teorema e dove l\'ho letto, ma credo fosse così.

a parte che va bene anche 2^1 - 1 = 1, poi quella a cui ti riferisci tu ,Mario, è una congettura di cui il mio problema ne è un caso particolare.
<BR>x mens-insana: sei Samuele?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 24-05-2003 13:56 ]

sbaglio o c\'era qualcosa di simile anche alla fase provinciale delle olimpiadi?????????????

boh, forse ti riferisci a quello molto più semplice del biennio

No non sono Samuele...sono Marco Tezzele....
<BR>
<BR>cmq confermo la mia risposta, non ne ho trovate altre
<BR>
<BR><b>Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi. <i>Piet Hein</i></b><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: mens-insana il 24-05-2003 19:14 ]

ovviamente intendevo potenze maggiori di 1.
<BR>Vuoi dire che si può dimostrare che nel tuo problema non esistono altre soluzioni?

ovvio

mi auto-uppo il forum...

Ho buttato giù qualcosina ma non riesco ad andare avanti...
<BR>
<BR>Si potranno presentare 2 casi sostanzialmente:
<BR>partendo da y^p = p^x - 1
<BR>si avrà che o (y,p)=1 oppure (y,p) diverso da 1
<BR>nel secondo caso si avrà quindi:
<BR>y^p == 0 (mod p)
<BR>p^x - 1 == p-1 (mod p)
<BR>quindi 0 == p-1 (mod p)
<BR>ma non esiste p | p == 1 (mod p)
<BR>Quindi questo caso è da scartare.
<BR>
<BR>Nel primo caso con (y,p) = 1
<BR>si avrà:
<BR>y^p == y (mod p) per Fermat
<BR>p^x - 1 == p-1 (mod p)
<BR>quindi y == p-1 (mod p)
<BR>
<BR>Ora ho trovato solo la soluzione:
<BR>x=2
<BR>y=2
<BR>p=3
<BR>
<BR>Ma non so come andare avanti per dire che non ce ne sono altre...
<BR>
<BR>ps Non so quante cavolate abbia scritto cmq mi sembra abbastanza giusto....fatemi sapere...
<BR>
<BR>ciao ciao mens[addsig]

ciao mens, ora posto cio che ho trovato io sul problema:
<BR>caso 1) p = 2 allora si ha che:
<BR> 2^x - 1 = y^2, che considerando i resti quadratici modulo 4,
<BR> y^2==1 (mod4) perchè dispari
<BR> ==> 2^x==2 (mod4), ma cio è vero solo per x=1,
<BR> da cui si arriva alla sol. p=2, x=1, y=1
<BR>caso 2) p > 2 allora si ha che:
<BR> p^x -1 = y^p con y pari
<BR> caso 2a) x pari
<BR> ==> se x=2z si ha che:
<BR> (p^z - 1)(p^z + 1)=y^p,
<BR> ma, poiché (p^z - 1) e (p^z + 1) hanno massimo comun divisore 2, azz..., proprio adesso che sto postando la sol. di questo caso, mi sono accorto che è sbagliata... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> ... beh, per sollecitarvi alla ricerca della sol. premetto che non dovrebbe essere tanto difficile, dato che ce l\'hanno dato allo stage pre-cesenatico di Parma.
<BR> datemi una manoooo!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 27-05-2003 22:07 ]

Cmq Biagio guarda che la soluzione
<BR>x=0
<BR>y=1
<BR>p=2
<BR>
<BR>Non è una terna valida....
<BR>
<BR>ps logicamente sono già state considerate tutte le soluzioni della forma
<BR>x=0
<BR>y=0
<BR>p= qualsiasi primo
<BR>Giusto?

infatti non so per qual motivo ho scritto x=0...intendevo x=1.
<BR>ora è a posto.
<BR>PS<IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">oiché x,y sono interi positivi per ipotesi, non possono essere = a 0<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 27-05-2003 22:08 ]

Scusa avevo letto male...pensavo fosse
<BR>x,y appartenenti a N[addsig]