OliForum Matematico

Un agricoltore aveva un terreno quadrato di l=1km. offrì ad un amico la possibilità di aquistarlo, tutto o in parte, senza addebitargli nulla per il terreno, ma a patto che lo recintasse a 200 euro al metro. Nel caso ne avesse acquistato solamente una parte, l'acquitente avrebbe potuto scegliere il terreno nella forma che meglio credeva; e così fece, cercando di comprare più terra possibile in modo che il prezzo per metro quadrato fosse minimo.
Quanto terreno comprò?

Edit : mi ero scordato Km accanto alla misura del lato.

$ \displaystyle \frac14\pi $?

Claudio. ha scritto:$ \displaystyle \frac14\pi $?

No.

Non ho capito.
L'amico deve recintare cosa?
Il terreno suo o il restante?

Clara ha scritto:Non ho capito.
L'amico deve recintare cosa?
Il terreno suo o il restante?

L'amico deve recintare il terreno che decide di prendere. esempio: se compra un quadratino nel mezzo di lato 5 metri dovrà recintare 20 metri quindi spenderà 20*200 = 4000

Allora anche a me verrebbe da dire pigrecoquarti Kmq...

Edit: Aspetta! Ma se è sul bordo non lo recinta?? In tal caso fa prima a prenderlo tutto... (insomma avevo capito molto...)

non ho capito neanche io, se il quadrato al posto di essere nel mezzo era al bordo, la parte che tocca con il bordo non la deve recintare??

nono!! anche sul bordo deve recintare se prende una parte contenente il bordo.
Quello in bianco sotto è la spiegazione di perchè non va bene $ \pi / 4 $,e contien anche un piccolo hint, che forse è meglio chiamare spiegazine del testo.

allora sostanzialemnte il problema chiede la figura ch eposso disegnare con il miglior rapporto perimetro / area. Voi dicendo $ \pi / 4 $ immagino che prendiate come figura la circonferenza inscritta al quadrato, se si faperimetro / area di questa figura viene: $ \frac {\pi }{ \pi / 4} = o,25 $ma se si prede ad esempio tutto il quadrato si può notare che il rapporto viene sempre 0,25, e visto che di risultato ce ne sarà uno solo non va bene. bisogna trovare un rapporto maggiore di 0,25, ciè il maggior rapporto possibile.


P.s : non so cambiare colore al Latex

Scusami veramente in un cerchio per ogni $ m^2 $ di area ci sono $ 2m $ di perimetro, mentre per un quadrato $ 4m $ per ogni $ m^2 $....

Claudio. ha scritto:Scusami veramente in un cerchio per ogni $ m^2 $ di area ci sono $ 2m $ di perimetro, mentre per un quadrato $ 4m $ per ogni $ m^2 $....

in un cerchio per ogni m^2 di area ci sono $ \sqrt \frac {1} {\pi} \cdot 2\pi $ di perimetro

no aspetta sarà l'orario.. ma non mi torna, se io ho un cerchio di raggio 1/2; l'area sarà $ \pi r^2 $ e il perimetro $ 2 \pi r $ sostituendo viene l'area : $ \pi / 4 $ e il perimetro $ \pi $ a questo punto facendo area / perimetro mi si semplificano i $ \pi $ e mi viene 1/4. mi sa che prima avevo scritto perimetro / area...

amatrix92 ha scritto:no aspetta sarà l'orario.. ma non mi torna, se io ho un cerchio di raggio 1/2; l'area sarà $ \pi r^2 $ e il perimetro $ 2 \pi r $ sostituendo viene l'area : $ \pi / 4 $ e il perimetro $ \pi $ a questo punto facendo area / perimetro mi si semplificano i $ \pi $ e mi viene 1/4. mi sa che prima avevo scritto perimetro / area...

Questo non centra, per ogni misura di r ci sarà un rapporto diverso: $ r=3 \Rightarrow A/p=2/3, r=4\Rightarrow 2 $ Quello che ho detto io si riferiva ad una circonferenza di raggio 1, comunque a parità di perimetro una circonferenza ha sempre area maggiore rispetto a un quadrato....e anche, spero di non star dicendo un'asssurdità, rispetto a qualsiasi altro poligono regolare di n lati.

Claudio. ha scritto:comunque a parità di perimetro una circonferenza ha sempre area maggiore rispetto a un quadrato....e anche, spero di non star dicendo un'asssurdità, rispetto a qualsiasi altro poligono regolare di n lati.

Nono, è così...

Allora non parlo in generale ma del problema che abbiamo: abbiamo un quadrato di lato 1 km, quindi di area $ 1km^2 $ e di perimetro $ 4Km $. Fino a qui credo non ci siano obbiezioni. Ora voi mi avete dato come risposta $ \pi / 4 $ che è l'area del cerchio inscritto nel quadrato il cui raggio è quindi 1/2 e la cui area è $ {(\frac{1}{2}) }^2 \cdot \pi $ e la cui circonferenza misura $ 2 \cdot \pi \cdot \frac {1}{2} $. Ergo $ \frac {AREA}{PERIMETRO}= \frac {1}{4} $ più in generale l'area fratto la circonferenza di un cerchio è $ r/2 $. Tornando al quadrato iniziale $ \frac {AREA}{PERIMETRO} = \frac {1}{4} $.
Questo vuol dire che le due figure prese in esame hanno lo stresso rapporto Area/ Perimetro.
Non mi sembra che in questo ragionamento ci siano errori. Se ce ne sono spiegatemeli perchè non li capisco.

Ho notato che se tagliamo i vertici del quadrato con una linea di 45°, ad esempio con una rientranza di 0,15 Km, il rapporto aumenta più di 0,25... adesso provo a fare una derivata per vedere qual è la rientranza più conveniente