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p(2009)
Inviato: 27 mar 2010, 17:01
da danielf
sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(2009)=2009.determinare il massimo numero di soluzioni intere distinte che può avere l'equazione:
p(x)=2000
Inviato: 27 mar 2010, 20:31
da Dani92
Io voto 6:
Definisco $ q(x)=p(x)-2009 $
quindi $ q(2009)=0 $ perciò $ q(x)=(x-2009)r(x) $
Ora scrivo p(x) -> $ p(x)=(x-2009)r(x)+2009 $
Ora unisco con l'ipotesi: $ (x-2009)r(x)+2009=2000 $
Da cui $ (x-2009)r(x)=-9 $
Le soluzioni possibili allora sono $ x=2018,2000,2010,2008,2012,2006 $
Inviato: 27 mar 2010, 20:39
da Spammowarrior
secondo me non è detto che r(x) abbia i valori giusti per le x che hai postato...
Inviato: 27 mar 2010, 21:48
da Dani92
Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista...
Inviato: 28 mar 2010, 12:12
da Spammowarrior
Dani92 ha scritto:Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista...
no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.
Inviato: 28 mar 2010, 15:57
da Gogo Livorno
Spammowarrior ha scritto:Dani92 ha scritto:Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista...
no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.
e come?
Inviato: 28 mar 2010, 17:01
da Jessica92
Gogo Livorno ha scritto:
e come?
Conosci un certo "Teorema cinese del resto"?
Il resto del procedimento è ok 
Inviato: 28 mar 2010, 17:17
da Spammowarrior
Gogo Livorno ha scritto:Spammowarrior ha scritto:Dani92 ha scritto:Eh in effetti non saprei trovare una forma polinomiale per $ r(x)=\frac{-9}{x-2009} $... Bene, un'altra pagliacciata serale che si aggiunge alla lista...
no, ma va, l'inizio è sicuramente giusto...
c'è da trovare però quanti di quei sei valori possono essere valori dello stesso polinomio.
e come?
restava sottointeso che se lo avessi saputo lo avrei detto
conosco il teorema cinese del resto, ma non mi viene in mente come usarlo qui (non lo conosco così bene, giusto l'enunciato)
ci penso su.
Inviato: 30 mar 2010, 15:56
da Dani92
Neanch'io capisco come usare il teorema cinese... Un hint?
Inviato: 30 mar 2010, 17:20
da EvaristeG
Un polinomio p(x) vale 1 in 1 se e solo se dà resto 1 quando è diviso per x-1, ovvero se e solo se è congruo a 1 modulo x-1 ...
Inviato: 30 mar 2010, 23:06
da Dani92
Boh non ci riesco ancora..
Se $ p(n)=n $ allora $ p(x)=(x-n)r(x)+n $
Da questo ho che $ p(x) \equiv n (mod |x-n|) $ (che credo sia l'hint no?)
in particolare nel nostro caso n=2009 quindi
$ p(x) \equiv 2009 (mod |x-2009|) $ ma i valori di |x-2009| sono solo, con le x trovate: 1,3,9
Poi faccio il sistemone a 6 ma non riesco a usare il t cinese comunque...
Non capisco cosa non capisco...
Inviato: 31 mar 2010, 13:13
da EvaristeG
No, la faccenda è questa: puoi fare le congruenze tra polinomi.
$ p(x)\equiv q(x) \bmod m(x) $
se
$ p(x)= k(x) m(x) + q(x) $
Quindi ci sarà un teorema cinese del resto per i polinomi che ti dice quando un sistema di congruenze è risolubile o meno...