OliForum Matematico

Sono dati 6 punti $ A,B,C,D,E,F $ nel piano; siano $ AC\cap BD=X $ e $ AE\cap DF=Y $ (supponiamo ovviamente che le rette che si intersecano non siano parallele); sappiamo inoltre che:

$ AB=1 $
$ BC=4 $
$ CD=8 $
$ DE=5 $
$ EF=1 $
$ FA=5 $
$ AD=7 $

Mostrare che $ ADXY $ è ciclico.

Dette H e K le proiezioni di B e D su AC e usando i segmenti "orientati" abbiamo per Carnot $ \displaystyle~AH=AB\cos\widehat{BAC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AC} $. Allo stesso modo $ \displaystyle~AK=AD\cos\widehat{DAC}=\frac{AD^2+AC^2-DC^2}{2AC} $, quindi $ \displaystyle~AH=AK $, visto che $ \displaystyle~AB^2-BC^2=-15=AD^2-DC^2 $. Dunque $ \displaystyle~H\equiv K\equiv X $ e $ \displaystyle~\widehat{AXD}=\frac{\pi}{2} $. Analogamente $ \displaystyle~\widehat{AYD}=\frac{\pi}{2} $, perciò anche nella configurazione più storta che può capitare ADXY è ciclico.

Buona soluzione!
Volevo far notare il seguente lemma (che fondamentalmente hai dimostrato):
in un quadrilatero le diagonali sono perpendicolari se e solo se la somma dei quadrati dei lati opposti è uguale per entrambe le coppie.