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x^n > x^ n-1+...+x^2+x
Inviato: 30 mar 2010, 11:07
da amatrix92
Data la seguente disequazione: $ x^n > x^{n-1} + x^{n-2} +... + x^2 + x $ per $ x>1 $ e $ n $numero intero positivo. Determinare il rapporto tra $ x $ e $ n $ perchè la disequazione sia vera. Es. per $ x=1,2 $ e $ n=330 $ è falsa, ma per $ x=3 $ e $ n=100 $ la disequazione è vera.
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Re: x^n > x^ n-1+...+x^2+x
Inviato: 30 mar 2010, 13:39
da Gogo Livorno
amatrix92 ha scritto:Data la seguente disequazione: $ x^n > x^{n-1} + x^{n-2} +... + x^2 + x $ per $ x>1 $ e $ n $numero intero positivo. Determinare il rapporto tra $ x $ e $ n $ perchè la disequazione sia vera. Es. per $ x=2 $ e $ n=330 $ è falsa, ma per $ x=3 $ e $ n=100 $ la disequazione è vera.
Ma scusa, una potenza di 2 non è sempre maggiore della somma di tutte quelle prima di lei?
Infatti, la somma di tutte le potenze di 2 da 0 a n-1, con la formula della serie geometrica viene S=(2^n -1)/(2-1)=2^n-1
Ti torna?
Inviato: 30 mar 2010, 14:31
da ale.b
il membro destro può esser scritto come $ \frac{x^n-x}{x-1} $. bisogna quindi risolvere la disequazione $ x^n-\frac{(x^n-x)}{x-1}>0 $, equivalente a $ \frac{x^{n+1}-2x^n+x}{x-1}>0 $
per ipotesi il denominatore è sempre maggiore di zero, quindi la disequazione è vera quando il numeratore è >0.
ma il numeratore può esser scritto come $ x^n(x-2)+x $ che risulta maggiore di zero per ogni x>1, n>0. pertanto la disequazione risulta sempre vera.
ora, dov'è l'errore?
Inviato: 30 mar 2010, 15:12
da Nonno Bassotto
ale.b ha scritto:
ora, dov'è l'errore?
ale.b ha scritto:
che risulta maggiore di zero per ogni x>1, n>0.
Inviato: 30 mar 2010, 15:25
da ale.b
aspetta, ma sia n che x devono essere interi?
Inviato: 30 mar 2010, 15:25
da amatrix92
no non per x > 1!, prova per esempio con 1,5. vedi che non torna.
Re: x^n > x^ n-1+...+x^2+x
Inviato: 30 mar 2010, 15:25
da amatrix92
Gogo Livorno ha scritto:amatrix92 ha scritto:Data la seguente disequazione: $ x^n > x^{n-1} + x^{n-2} +... + x^2 + x $ per $ x>1 $ e $ n $numero intero positivo. Determinare il rapporto tra $ x $ e $ n $ perchè la disequazione sia vera. Es. per $ x=2 $ e $ n=330 $ è falsa, ma per $ x=3 $ e $ n=100 $ la disequazione è vera.
Ma scusa, una potenza di 2 non è sempre maggiore della somma di tutte quelle prima di lei?
Infatti, la somma di tutte le potenze di 2 da 0 a n-1, con la formula della serie geometrica viene S=(2^n -1)/(2-1)=2^n-1
Ti torna?
Sì scusa ora edito volevo scrivere 1,2 non 2 .