OliForum Matematico

Scusate se oggi sono un po' "pedante", ma mi stanno continuando a venire dubbi!
Il mio dubbio di stavolta è: quando è lecito (se lo è) risolvere una diofantea impostando un'identità?
Mi spiego meglio con un esempio "facile": il problema di cesenatico 2001/3 recita: trovare le coppie di x,y interi positivi tali che
$ x^{2001} = y^x $. A parte la soluzione ufficiale, io ho provato a risolverlo in questo modo:
$ x^{2001} = (x^{2001/x})^x = y^x $, quindi $ y = x^{2001/x} $ e le x sono dunque tutti e soli i divisori di 2001.
In questo caso ho impostato un'identità e ho usato quella, ma data la differenza con la soluzione ufficiale e data la brevità della mia, ho dubbi sulla sua correttezza/validità. Lo chiedo anche a scanso di equivoci futuri, dato che potrebbero esserci altri problemi risolubili con questo metodo.

Uhm, tu elevi alla $ 1/x $. L'operazione e' lecita nei reali positivi.

Perche' mai dopo imponi che $ 2001/x $ sia intero?

perché se 2001/x è intero allora sicuramente anche $ x^{2001/x} $ sarà intero. Visto che non ci sono condizioni sulla y, questo basterebbe.

Quindi tu stai dicendo che a e b sono interi positivi tali che $ a=b^c $ per qualche c razionale allora c è intero?
E allora $ 3=9^{\frac{1}{2}} $?

Quello che hai fatto tu è una condizione sufficiente, non necessaria..e quand'anche le soluzioni trovate fossero tutte, l'esercizio non avrebbe sicuramente ottenuto pieni voti..

Dal mio punto di vista, per evitare errori di fondo del genere, usare le valutazioni p-adiche aiuta sempre..
Poi sarò che io sono un po di parte..

Gauss91 ha scritto:perché se 2001/x è intero allora sicuramente anche $ x^{2001/x} $ sarà intero. Visto che non ci sono condizioni sulla y, questo basterebbe.

la condizione però non è necessaria.

se x fosse un quadrato, e l'esponente della forma n/2, sarebbe comunque intero.
se non ricordo male la prima parte del problema poneva x primo, e la tua risoluzione va bene (ovviamente p non può essere una potenza).

se vuoi risolvere anche il caso generale con il tuo metodo, a occhio potrebbe esserci una strada che funziona, se vuoi c'è un hint (ripeto, è solo un'idea e mi sembra che funzioni, magari ho preso un abbaglio):
edit: ho decisamente preso un abbaglio, la prossima volta collego il cervello oltre alla tastiera.

edit2: o forse no. boh, domani pomeriggio ci provo e vi faccio sapere (se ve ne frega qualcosa, ovvio )

Non preocc Spammo questo problema l'ho risolto con metodi "classici" . Più che altro mi era venuto in mente tale metodo, ma mi sembrava fallace in qualche punto per via della troppa semplicità. Per questo ho provato a postarlo sul forum.
E ho fatto bene, se non altro ho imparato a non usare strade troppo puzzolenti e rischiose!

jordan ha scritto:Dal mio punto di vista, per evitare errori di fondo del genere, usare le valutazioni p-adiche aiuta sempre..
Poi sarò che io sono un po di parte..

che si intende con valutazioni p-adiche?

Per ogni $ p\in\mathbb{P} $ si definisce valutazione p-adica la funzione $ \upsilon_p(\cdot):\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}:n\to\max\{m\in\mathbb{N}:p^m\mid n\} $.