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"E' dato un angolo acuto ed un punto P interno ad esso: condurre per P una retta che stacca un triangolo di area assegnata $ a^2 $.
Dire per quali valori di $ a $ il problema ammette soluzioni".

Non presenta particolari difficoltà concettuali o teoriche, io ho trovato due metodi per risolverlo ma sono tutti e due un po' contosi. Se ve ne venisse in mente qualcuno sarà ben accetto!

Questo accorgimento non dovrebbe essere contoso.
Prendi un'iperbole con asintoti i lati dell'angolo e traccia una tangente. L'area del triangolo formato da asintoti+tangente non varia al variare della tangente scelta.
Se P fosse interno all'iperbole, per l'area associata a questa non ci sono soluzioni.
Se P esterno, basta prendere le tangenti.
Allora basta calcolare l'area del triangolo quando P appartiene all'iperbole.

Se si vuol sapere il valore di a dato P si può procedere così:
vettori; vertice=0; i,j versori (lunghezza unitaria) nelle direzioni dei due lati; P=bi+cj;
allora l'area è 2bc. (proprietà della tangente ad un'iperbole)