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Sia definito il polinomio $ p(\cdot,\cdot):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}:(x,y)\to 4+x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2 $.
a) Trovare il più grande $ k \in \mathbb{R} $ tale che $ p(x,y)\ge k $ per ogni $ (x,y)\in \mathbb{R}^2 $.
b) Esistono dei polinomi in due variabili $ g_1(x,y),g_2(x,y),\ldots,g_n(x,y) $ tali che $ \displaystyle p(x,y)=\sum_{1\le i\le n}{g_i^2(x,y)} $?

jordan ha scritto:a) Trovare il più grande $ k \in \mathbb{R} $ tale che $ p(x,y)\ge k $ per ogni $ (x,y)\in \mathbb{R}^2 $.

Poniamo $ h=k-4 $: ora dobbiamo trovare il più grande $ h \in \mathbb{R} $ tale che $ x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2 \ge h $ $ \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2 $. Ora scomponiamo il primo membro in $ x^2y^2(x^2+y^2-3) $. Dal momento che vogliamo minimizzarlo dobbiamo vedere se può assumere valori negativi: ciò accade se $ xy \neq 0 \wedge x^2+y^2 <3 $ (1).

Giunti a questa conclusione, ricordiamo che se un polinomio ha come minimo un numero negativo, allora il suo opposto, che in questo caso è $ x^2y^2(3-x^2-y^2) $, ha come massimo un numero positivo. Ora, con le ipotesi del punto (1), applichiamo la disuguaglianza $ AM-GM $:

$ \sqrt[3]{x^2 \cdot y^2 \cdot (3-x^2-y^2)} \le \dfrac{x^2+y^2+(3-x^2-y^2)}{3}=1 \Rightarrow $
$ \Rightarrow x^2y^2(3-x^2-y^2) \le 1^3=1 \Rightarrow $
$ \Rightarrow x^2y^2(x^2+y^2-3) \ge -1 \Rightarrow 4+x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2 \ge -1+4=3 \Rightarrow k=3 $

Per la (b) ho due domande: la prima è se sono ammessi anche polinomi costanti tipo $ g(x,y)=2 $, la seconda è se questi polinomi devono avere coefficienti interi o anche reali

Forse si può semplificare il pur valido procedimento di Spugna osservando che :
$ \displaystyle p(x,y)=[(x^4y^2+x^2y^4+1)-3x^2y^2]+3 $
Ma per AM-GM è:
$ \displaystyle x^4y^2+x^2y^4+1\geq 3 \sqrt[3]{x^4y^2\cdot x^2y^4\cdot 1}=3x^2y^2 $
E dunque è:
$ \displaystyle p(x,y) \geq 3 $
L'eguaglianza si ottiene per $ \displaystyle x^4y^2=x^2y^4=1,\text{ovvero per } |x|=|y|=1 $
Il risultato è confermato anche tramite l'uso dell'Analisi.

La a) va bien ..

spugna ha scritto:Per la (b) ho due domande: la prima è se sono ammessi anche polinomi costanti tipo $ g(x,y)=2 $, la seconda è se questi polinomi devono avere coefficienti interi o anche reali

Certo, e g(x,y) ha coefficienti reali!