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Mostrare che se un poligono con un numero primo di lati e con gli angoli tutti uguali ha i lati di lunghezza razionale allora è regolare.

Bonus: E se il numero di lati non è un numero primo?

p.s. E' una generalizzazione del problema 2 delle balkan 2001, è figo, forse noto.
p.p.s. Buona Pasqua

Questa volta non te lo brucio, ma la prossima volta usa il search (andando a ricordi, la prima volta fu postato da edriv in geometria..)

Vero Ti ringrazio per non avermelo bruciato, comunque neanche allora qualcuno aveva postato una vera e propria soluzione

La soluzione che propongo ha pochissimo di geometrico e molto di algebrico.
Sia $ V_1V_2\cdots V_p $ il poligono ipotizzato, siano $ l_1,l_2,\cdots,l_p $ le lunghezze razionali dei suoi lati (si intende che il lato $ V_1V_2 $ ha lunghezza $ l_1 $, $ V_2V_3 $ ha lunghezza $ l_2 $, e così via). Chiamiamo $ \omega $ la radice p-esima complessa di 1 diversa da 1 e il cui vettore nel piano di Gauss formi l'angolo più piccolo con l'asse reale (insomma, la prima che si becca in senso antiorario a partire da 1 sulla circonferenza unitaria). Fissiamo nel piano di Gauss $ V_1=0 $ e $ V_p=-l_p $. Allora il generico vettore $ V_iV_{i+1} $ è rappresentato dal complesso $ \omega^il_i $, di modo che l'angolo tra due vettori consecutivi sia sempre l'argomento di $ \omega $, e la lunghezza del vettore sia quella giusta. Poiché il poligono si chiude, deve essere:
$ $\sum_{i=1}^p l_i\omega^i=0 $
ossia $ \omega $ è una radice del polinomio
$ p(x)=l_px^{p-1}+l_{p-1}x^{p-2}+\cdots+l_2x+l_1 $
(ricordando che $ \omega\neq 0 $ possiamo dividere il vero polinomio per x).
Sia ora $ q(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1 $. Sappiamo che questo polinomio ha $ \omega $ come radice e per il criterio di Eisenstein applicato a q(x+1) non è scomponibile in $ \mathbb{Q} $. Poiché $ p(x) $ e $ q(x) $ hanno una radice in comune, il loro massimo comune divisore $ d(x) $ è un polinomio di grado almeno 1 ed è comunque a coefficienti razionali (questo si prova con l'algoritmo di Euclide per il MCD); ma allora questo massimo comune divisore deve essere $ q(x) $ stesso, ovvero $ p(x)=kq(x) $ per un certo $ k $ razionale. Tale $ k $ viene così ad essere la misura di ogni lato.

Se invece il numero di lati non è primo, allora si può scrivere come $ a\cdot b $, con $ a $ e $ b $ interi maggiori di 1. In questo caso , prendendo tutti i lati uguali ma raddoppiando quelli di indice $ a $, si riesce a chiudere il poligono: basta fare i conticini con i complessi usando $ \omega $ come definito sopra.

Perfetto
Mi sono accorto, che sfruttando un ragionamento del genere si poteva risolvere un cese 1 con una semplice divisione tra polinomi. Non ricordo di che anno fosse, ma era quello in cui davano 4 lati interi di un esagono equiangolo e si dovevano trovare gli altri 2... sarebbe stato bello farlo dividendo il "polinomio dei lati" per il sesto polinomio ciclotomico xD Chissa se qualcuno l'ha fatto...

Buongiorno... perdonatemi la mia ignoranza:
"Fissiamo nel piano di Gauss .........." E da qui mi perdo. potete spiegarmelo appena avete tempo ? non capisco.... potete magari introdurmi i concetti che avete usato o darmi l'indirizzo di un posto dove capire cosa voglion dire i passaggi dopo perfavore ?

Il piano di Gauss è il normale piano cartesiano, in cui però ai punti corrispondono i numeri complessi; più precisamente al punto di coordinate (x;y) corrisponde il complesso x+iy. In questo modo è possibile trasformare la geometria in algebra dei complessi e poi fare i conti. Per la somma i complessi funzionano un po' come i vettori, ma le moltiplicazioni diventano rotoomotetie con centro nell'origine degli assi; più precisamente la moltiplicazione per il complesso z è una rotomotetia che ha come fattore omotetico il valore assoluto di z e come angolo di rotazione in senso antiorario l'angolo che il vettore dall'origine al punto z forma con l'asse delle x; tale angolo è anche noto come argomento del complesso z.

Nella fattispecie puoi rototraslare il tuo poligono come vuoi (o fissare il sistema di coordinate come vuoi), per cui puoi snellire i conti imponendo che uno dei vertici sia proprio l'origine (il complesso 0) e un'altro stia sull'asse delle x (ossia sia rappresentato da un complesso di parte immaginaria nulla).